Studio di fattibilità
Paolo Turchetti
Dipartimento di Fisica, Università di Roma “La Sapienza”
Convegno informale di Fisica Teorica, Cortona, 25 Maggio
Indice
Introduzione
Descrizione dei problemi della procedura standard
LQCD: problemi and soluzioni
Divergenze a potenza dai termini di contatto
Divergenze a potenza e rinormalizzazione
Conclusioni
Introduzione
Perché siamo così interessati allo studio dei decadimenti rari
e
?
Ci sono molte buone ragioni, per esempio
processi FCNC 
Utili per determinare Vtd
Decadimenti rari: procedura standard
Decadimenti rari: K+π+ νν,
K+/-π+/- l+l–, KSπ0 l+l–
Top, W, beauty,
charm rimossi
TDP + gruppo di
rinormalizzazione
Experimenti
χPT
Elementi di
Matrice
Coefficienti
di Wilson
Predizioni
fenomenologiche
Problemi!
Ci sono vari problemi associati all’utilizzo di questa procedura, tutti connessi alla fisica di
lunga distanza. Ad esempio se consideriamo la famiglia di decadimenti K  πνν l’unico
contributo di cui dobbiamo tener conto è quello debole. In questo caso è attivo un
meccanismo GIM a potenza
Principali fonti di errore teorico
Operatori con dimensione maggiore di 6
Da G. Isidori
mK2 / mc2  15%
Espressione perturbativa per i coefficienti di Wilson troncata (NNLO termini non inclusi)
Fino a che punto i metodi perturbativi sono validi ad una scala così bassa (< 1 GeV)?
LQCD e decadimenti rari
Ora il charm è un grado di
libertà dinamico
Decadimenti rari: K+π+ νν,
K+/-π+/- l+l–, KSπ0 l+l–
Top, W, beauty,
rimossi
TDP + gruppo di
rinormalizzazione
Experimenti +
LQCD
Elementi di
matrice
Coefficienti
di Wilson
Predizioni
fenomenologiche
L’approccio tramite LQCD
Se consideriamo il charm come un grado di libertà dinamico (dof),
possiamo limitarci a calcolare, nelle simulazioni numeriche in LQCD, gli
opportuni correlatori che coinvolgono gli operatori
Ad una scala di energia maggiore della massa del charm.
In questo modo
si risolve il problema operatori con dimensione più grande di 6
possiamo calcolare esattamente gli effetti di lunga distanza
Non abbiamo più bisogno di evolvere i coefficienti di Wilson ad una scala
troppo bassa, così che i termini NNLO non sono “troppo grandi”
La LQCD è un metodo basato solo su principi primi
Cosa dobbiamo calcolare?
Cosa dobbiamo calcolare?
La quantità fisica a cui siamo interessati è associata a
Dove J è la corrente debole od elettromagnetica.
Il principale problema che dobbiamo affrontare è la possibile
presenza di divergenze a potenza nell’espressione del Tprodotto
Lo scopo del nostro lavoro è quello di compiere
un’approfondita analisi della struttura delle divergenze di
questa quantità
Classifications of power divergences
Le divergenze a potenza potenzialmente presenti nel nostro Tprodotto possono essere organizzate in due diverse classi.
Alla prima appartengono tutte quelle divergenze che possono
essere eliminate rinormalizzando gli operatori che compaiono
nel T-prodotto. Esse sono associate alle seguenti topologie
+
Alla seconda classe appartengo tutte quelle divergenze presenti in
quando
Cioè quelle divergenze associate ai termini di contatto ed ai diagrammi
Questo secondo tipo di divergenze non può essere rimosso
semplicemente rinormalizzando gli operatori Q+/-.
Alla seconda classe appartengo tutte quelle divergenze presenti in
quando
Cioè quelle divergenze associate ai termini di contatto ed ai diagrammi
Questo secondo tipo di divergenze non può essere rimosso
semplicemente rinormalizzando gli operatori Q+/-.
La Bolla
Poiché stiamo lavorando con una teoria effettiva in cui
abbiamo rimosso i gradi di libertà pesanti, le interazioni
deboli, sia per il caso del bosone W sia per quello del bosone
Z , devono essere considerate come interazioni locali.
Certamente questo non avviene per il fotone. Al fotone,
quindi, possiamo associare una interazione non locale.
Questa è un’osservazione fondamentale perché implica
importanti conseguenze sul modo di trattare questi due casi
sul reticolo.
La Bolla sul reticolo
Sul reticolo possiamo associare al fotone una corrente di gauge che è una splitted current
(non locale).
Alla corrente debole dobbiamo associare una corrente locale che, sul reticolo, non è
una corrente di gauge.
Le differenze tra questi due casi sono chiare se consideriamo le regole di Feynman
associate alle due correnti
Corrente di gauge
Corrente locale
Il caso del fotone
In questo caso –fortunato– i vincoli imposti dalla simmetria di
gauge comportano la cancellazione algebrica delle divergenze
a potenza. Le restanti divergenze sono solo logaritmiche
Abbiamo verificato questa affermazione attraverso dei calcoli
espliciti in teoria delle perturbazioni sul reticolo con diversi tipi
di regolarizzazione (Wilson, clover, twisted mass) ricavando che
Dove
C
e
L
sono costanti e
In tutte le regolarizzazioni le divergenze a potenza
sono assenti!!!
La sola differenza tra i vari tipi di regolarizzazione riguarda il termine finito L.
La costante finita L è indipendente dalla massa. A causa del
meccanismo GIM essa non compare nell’espressione finale
dell’ampiezza con il charm dinamico. Nel caso di charm pesante,
disporre della sua espressione analitica per il matching tra continuo
reticolo è fondamentale.
Il caso debole
Come precedentemente accennato in questo caso non abbiamo
più a disposizione una corrente di gauge e la simmetria di
gauge non gioca più alcun ruolo. In particolare non abbiamo più a
disposizione quei vincoli che causavano la cancellazione delle
divergenze a potenza nel caso precedente…
Il risultato è che, se facciamo uso della regolarizzazione di
Wilson, nell’ampiezza finale RIMANGONO delle
divergenze quadratiche!!!!!
Ma…
Twisted mass fermions
Applicando la recente regolarizzazione con twisted mass fermions (Frezzotti,
Rossi hep-lat/0306014) abbiamo esplicitamente dimostrato, tramite argomenti di
simmetria e attraverso un calcolo esplicito in teoria delle perturbazioni su
reticolo, che
Maximally twisted
mass fermions
Caso Z0
Caso Z0
(logaritmicamente
divergente)
(quadraticamente
divergente)
Meccanismo GIM
In tutto questo lavoro si devono affrontare dei calcoli perturbativi assai laboriosi.
In particolare il caso con twisted mass è sicuramente il più complesso.
Primo risultato
G. Isidori, G. Martinelli and P.T. to be published.
Non abbiamo nessuna divergenza a potenza associata con i
termini di contatto sia nel caso del fotone che nel caso del
bosone Z!
Possiamo trattare le residue divergenze logaritmiche con gli
usuali metodi perturbativi.
La procedura perturbativa è assai laboriosa, ma non implica
alcun problema concettuale.
Ambiguità e rinormalizzazione
Occupiamoci del problema della rinormalizzazione della Hamiltoniana effettiva.
Il termine di Wilson, necessario per risolvere il problema della duplicazione
delle specie fermioniche, rompe esplicitamente la chiralità anche se si
considerano quark a massa. Questo implica che sotto rinormalizzazione un
generico operatore si mescoli con altri operatori di dimensione uguale o
minore (in energia) aventi, in generale, proprietà chirali differenti. Nel nostro
caso abbiamo
Dove
sono gli operatori rinormalizzati
sono gli operatori nudi
è il tensore del campo dei gluoni
Condizione di rinormalizzazione
Limitiamoci a considerare il caso del fotone. Per ragioni di
parità la densità pseudoscalare non compare in questo caso
e la conditione di rinormalizzazione che dobbiamo imporre
assume la forma
Dove C è una constante, J è la corrente elettromagnetica e π e
K sono gli operatori che interpolano il pione ed il mesone K
La domanda naturale è:
Che valore dobbiamo scegliere per il termine finito?
Identità di Ward
La risposta che abbiamo trovato a questa domanda è incoraggiante
Le quantità fisiche che stiamo cercando non hanno
bisogno di alcuna sottrazione. Questo implica che non
siano interessate da alcuna ambiguità!
Dalle identità di Ward possiamo ottenere questa relazione
Struttura polare (1)
Come può essere ricavato dalla precedente formula le divergenze
a potenza sono proporzionali a questa struttura polare
Minkowski
Euclideo
Cioè esse sono proporzionali alla somma di due correlatori,
ognuno caratterizzato da un singolo polo doppio.
Struttura polare (2)
La quantità fisica a cui siamo interessati è caratterizzata, invece,
dal prodotto di due poli semplici, il primo associato alla massa del
mesone K, il secondo associato alla massa del pione
Minkowski
Euclideo
Dalle formule di riduzione di LSZ sappiamo che ogni altra
quantità caratterizzata da una diversa struttura polare non
può interferire con essa.
Secondo risultato
G. Isidori, G. Martinelli and P.T. to be published.
Le divergenze a potenza, a causa della loro struttura
polare, non possono interferire con la quantità fisica
che vogliamo estrarre.
Possiamo stimare gli elementi di matrice degli operatori
Q+/- senza alcuna ambiguità.
Conclusioni
In conclusione possiamo riassumere i nostri risultati:
• Abbiamo dimostrato, attraverso dei calcoli espliciti,
la cancellazione algebrica delle divergenze a
potenza associate ai termini di contatto presenti nei
T-prodotti rilevanti per questi decadimenti.
• Abbiamo dimostrato l’assenza di ambiguità dovute
alle condizioni di rinormalizzazione nell’estrazione
delle quantità fisiche interessanti riguardanti i
decadimenti rari presi in esame
Backup slides
La teoria delle perturbazioni sarebbe lo strumento ideale per
imporre la corretta condizione di rinormalizzazione, ma la
presenza delle divergenze a potenza ci impedisce di usarla.
L’arbitrarietà nella condizione di rinormalizzazione introduce
l’ambiguità a cui si è precedentemente accennato e rende,
impossibile l’estrazione di stime affidabili da simulazioni
numeriche in LQCD.
Infatti, in corrispondenza di ogni differente value del termine
finito possiamo ottenere una differente stima delle quantità
fisiche a cui siamo interessati.
Ma questa ambiguità può realmente?
Symmetries
By dimensional counting we see that
But, if we consider the constraints introduced by GIM mechanism and
CPS symmetry with
We can infer that A and B are at most logarithmically divergent and
So we need non perturbative methods to subtract these power
divergences.
Br ( K     )     | Im t X ( xt ) |2  | Re  t X ( xt )  Re  c X ( xc ) |2

0 
3 Br ( K   e )
22 2 sin 4 W
2
K L  0 
O( 5 ) O(1)
O() O(104 )
68%
32%

Precision Physics:
The t-quark effects:
The c-quark effects:
Subleading c-quark effects: Dimension-eight operators
Possible correction to
X ( xc ) of the order of mK2 / mc2  15%
Courtesy of C. Smith
Fermion doubling problem
Naive discretization
Physical content
16 solutions
16 lattice degrees of freedom
One of the main consequences is that this theory is anomaly-free
Wilson Action
Wilson term. This term breaks the chiral symmetry
explicitly even if we are considering massless fermions
Twisted mass action
Where the quarks are organized in mass-degenerate doublet so that
And where
Twisted Wilson Term
Maximal Twist
Consideriamo il caso semplice di elementi di matrice con stati
esterni con componenti spaziali del quadri-impulso nulle.
Le precedenti simmetrie spurioniche permettono di
dimostrare che gli elementi di matrice di operatori con stessa
parità formale rispetto agli stati esterni sui quali gli elementi
di matrice stessi sono calcolati sono pari in ω.
Nel caso di Twist massimo questo consente di dimostrare che
tali elementi di matrice sono pari nel parametro di Wilson r.
LSZ reduction formula
LSZ reduction formulas assert that we can extract S-matrix
elements for a particular transition taking into account the Fourier
transforms of T-product of appropriate operators and than going
on-shell. For example if we consider a four particles transition
we’ll have
Where mi are the masses of the particles involved in this process
and Oi are the operators interpolating the particles.