Modelli d’illuminazione locale
radiometrici
Maurizio Rossi, Daniele Marini, Davide Selmo
1
Limiti dei modelli di illuminazione locale
•
•
•
I modelli Flat, Gourad, Phong sono stati formulati
empiricamente
Una soluzione corretta del problema della interazione
tra luce e materia, richiederebbe la soluzione delle
equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico
Tale approccio non è praticabile in forma analitica o
numerica a causa della elevata complessità
2
Equazioni di Maxwell
E è il campo elettrico, B il campo magnetico
QuickTi me™ e un
decomp resso re TIFF (Non co mpres so)
son o ne ces sari per vis uali zzare que st'imma gine .
ρ la densità di carica e il vettore densità di
corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette
rispettivamente costante dielettrica del vuoto e
permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate
dalla relazione:
Qu i ck Ti me ™e un
d ec omp res so re TIFF (N on c om pres so )
s on o ne ce ss ari pe rv is ua l iz za re qu es t'i mm ag in e.
Dove c è la velocità della luce,
da cui la 4° eq:
QuickTime™ e un
decompressore TIF F (Non compresso)
sono necessari per visualizzare quest'immagine.
Vedi: http://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Maxwell
3
Indice di rifrazione
A partire dalle equazioni di Maxwell, sfruttando il fatto che il
campo elettrostatico è conservativo, è possibile dimostrare
che passando da un mezzo ad un altro la componente del
campo elettrico tangente all'interfaccia è continua. Se i due
mezzi hanno un diverso indice di rifrazione (che chiameremo
n1 e n2) la velocità della radiazione deve cambiare da c/ n1 a
c/ n2 .
La condizione di continuità implica:
ovvero
Questa relazione è nota come legge di Snell.
QuickTi me™ e un
decompressore TIFF (N on compresso)
sono necessari per visual izzar e q uest' immag i ne.
QuickTi me™ e un
decompressore TIFF (N on compresso)
sono necessari per visual izzar e q uest' immag i ne.
4
Indice di rifrazione n
• È funzione della lunghezza d’onda n()
• Nei conduttori è una funzione complessa:
n() = n() + i k()
k() è il coefficiente di estinzione
• Nei dielettrici è una funzione reale:
n() = n()
k() è nullo
5
Riflettometria
•
•
•
La riflettometria descrive la riflessione delle
onde e.m. su materiali reali in termini di
grandezze radiometriche
Le funzioni di Fresnel forniscono una soluzione
al problema della riflessione delle onde e.m. in
alcuni casi semplificati (riflessione speculare su
un materiale liscio ideale)
Anche l’utilizzo diretto delle funzioni di Fresnel
complete non è praticabile a causa della loro
elevata complessità
6
Funzioni di Fresnel per
dielettrico
• Indica il rapporto tra l'intensità della radiazione
incidente e quella della radiazione trasmessa
all'interno del materiale
• È funzione della lunghezza d’onda (cromaticità)
• Radiazione polarizzata trasmessa da un dielettrico,
dipende dall’angolo di incidenza e di trasmissione:
2

1 sin 2 (i   t ) 
cos
(



)
i
t 

F( ) 
1


2
2 sin2 (i   t ) 
cos
(



)

i
t 
7
Funzione di Fresnel per dielettrico
• L’intensità della radiazione trasmessa
dipende sia dalla direzione della radiazione
incidente sia dalla direzione della radiazione
trasmessa;
• Le due direzioni sono complanari con la
normale alla superficie
8
Funzione di Fresnel per
conduttore
• n2 è l'indice di rifrazione del mezzo
conduttore (quello dell'aria è pari a 1) e k2 è
il coefficiente di estinzione del conduttore
• L’intensità della luce trasmessa nel
conduttore dipende solo dalla direzione della
luce incidente:
2
2
2
2 
1 
(n
cos


1)

(k
cos

)
(n

cos

)

k
2
i
2
i
2
i
2 
F( )  


2 
(n2 cos i  1)2  (k 2 cos i )2 (n2  cos i )2  k22 
9
Funzioni di Fresnel
Le funzioni di Fresnel in un conduttore
10
Interazione luce materia
• Modello superficiale a microfacce
• Conduttori vs dielettrici
11
Riflessione: BRDF
•
La funzione di distribuzione della
Riflettanza Bidirezionale (Bidirectional
Reflectance Distribution Function)
descrive la riflessione delle onde e.m.:
1. Su una superficie reale caratterizzata da una
qualsiasi microrugosità superficiale
2. Rispetto a qualsiasi direzione (ovvero speculare
e/o diffusa)
3. In funzione della radianza riflessa Lr e della
irradianza incidente Ei
4. In funzione della lunghezza d’onda 
12
BRDF
Lr ( r , r ,  i , i ,  )
Lr ( r , r ,  i , i ,  )
 ( r , r ,  i , i ,  ) 

Ei ( i , i ,  )
Li ( i , i ,  ) cos  i d
13
BRDF Anisotropa
• Non c’è simmetria rispetto alla normale
• La superficie presenta una geometria
fortemente orientata
• Esempio: velluto, pelliccia, capelli
Isotropic and Anisotropic Aluminum, Westin, Arvo, Torrance
14
Esempi
destra: lo stesso tessuto dopo
una rotazione di 90°. La luce
viene dall’alto e di fronte
(notare l’assenza di ombra sul
tavolo). Le condizioni di
illminazione sono identiche in
tutte le immagini
Un tessuto avvolto su un cilindro.
sinistra: satin, destra: velluto.
15
BRDF
•
Purtroppo:
1. La BRDF non è nota analiticamente
2. È definita sperimentalmente e può essere misurata con
estrema difficoltà dato che dipende da cinque variabili
3. In caso di superfici non omogenee (texture) la sua
misurazione dovrebbe essere ripetuta su ogni punto
campione della superficie
•
I modelli di illuminazione locali Gourad e
Phong sono stati formulati empiricamente
per cercare di approssimare la BRDF
16
Dimensionalità della BRDF
f r ( p,i , i , r , r ,  )
• Funzione di
– Posizione (3)
– Direzioni di incidenza e riflessione (4)
– Lunghezza d’onda (1)
• Semplificazioni:
• A volte non si considera la lunghezza d’onda

• Si assume il matriale uniforme
 r
• Si assume il materiale isotropo
f r ( i , r )

i
d
17
Come otteniamo le BRDF?
• Sperimentalmente
– goniospettrofotometro
• Con modelli analitici
Greg Ward
– Basati sulla fisica
– Modelli empirici
• Strategia più utilizzata
18
Misurare la BRDF
19
BRDF: applicazione
Test rendering:
rendering di un
tessuto di seta, di
cotone e di lana
Confronto tra una fotografia
dell’agente Smith (sinistra) e di una
iimagine di sintesi completa
(destra)
20
Modelli di BRDF
• Fisici
– Cook-Torrance[81]
– He et al.[91]
• Empirici
– Phong[75]
• Phong-Blinn[77]
– ....
21
Modello di Cook-Torrance
• Si suppone che la superficie sia composta da piccoli
elementi planari detti microfacce
• Solo le microfacce che hanno la normale in direzione
H contribuiscono alla riflessione tra V e V’
n
l
22
Modello di Cook-Torrance
• La BDRF dipende da 5 differenti angoli ed è espressa
come combinazione lineare di un riflettore diffusivo e
uno speculare
d
s
 (,,, ',)  
F ( )G(, ')D(, )
 4vv'
• d è la componente diffusiva, s quella
speculare, d + s =1

• D() ≥ 0 definisce la frazione delle microfacce
che sono orientate in direzione H
23
Modello di Cook-Torrance
d
s
 (,,, ',)  
F ( )G(, ')D(, )
 4vv'
• F() [0,1] è la funzione di Fresnel, definisce il
colore della componente speculare
 • G [0,1] è il fattore geometrico che definisce la
percentuale di luce che non è mascherata
dalla superficie
24
Modello di Cook-Torrance
• D si può anche considerare come funzione
di rugosità, indica sempre la percentuale di
microfacce orientate come H.
• Un possibile modello per D: 2
 / m
D(m,c,)  ce

•con  angolo tra V e H, c costante
arbitraria, m indice di rugosità
normalizzato, quando è prossimo a 0 la
superficie è liscia, se è prossimo a 1 allora è
molto scabra
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• G parametro geometrico tiene conto
dell'orientamento delle microfacce
superficiali, che possono proiettare
un'ombra su facce vicine (shadowing) o
produrre una riflessione speculare verso la
direzione di osservazione o infine la luce
riflessa può essere parzialmente bloccata da
altre faccette (masking).
G( N, V, L)  min 1,  ( N  V),  ( N  L)
2( N  H)
 
VH
26
27
Modello di Cook-Torrance
• Limiti:
– Arbitrarietà dei parametri d, s e m che devono
essere determinati dall’operatore in base
all’esperienza sull’aspetto dei materiali
– Ignorata la diffusione della luce sotto la
superficie del materiale (sub-surface scattering)
28
Modello di Cook-Torrance, riassumendo
•
La BRDF è quindi approssimata con:
•
•
•
d coefficiente di riflessione diffusa 0  d  1
s coefficiente di riflessione speculare 0  s  1
Ovviamente d + s  1
•
•
•
•
  kd  d  ks  s
se il materiale è un dielettrico puro d=1 e s=0
se il materiale è un conduttore puro d=0 e s=1
d riflessione diffusa (lambertiana)
s riflessione speculare non ideale, ovvero perturbata dalle
microrugosità superficiali della materia, dipende da:
1.
2.
3.
Angoli di incidenza e riflessione della luce
Fattore di microrugosità m che descrive statisticamente la superficie
(maggiore m … maggiore la microrugosità)
Indice di rifrazione n() che è funzione della lunghezza d’onda e
quindi determina lo spettro della radiazione riflessa, ovvero il colore del
materiale
29
Modello locale di He-Torrance 1991
•
Questo modello (1991) cerca di eliminare i limiti del modello
di Cook-Torrance scomponendo la BRDF in tre componenti
senza coefficienti arbitrari:
   sp   dd  ud
1.
2.
3.
Speculare: dovuta ai raggi che riflettono una sola volta sulla
superficie
Diffusa direzionale: dovuta ai raggi che riflettono una sola
volta sulla superficie ma sono deviati dalla direzione
speculare ideale a causa delle microrugosità
Diffusa uniforme: dovuta ai raggi che riflettono più volte
sopra (conduttori e dielettrici) e sotto (solo nei dielettrici) la
superficie del materiale
30
Limiti dei modelli di illuminazione locale
•
Limiti dei modelli descritti. Questi ignorano:
1.
2.
3.
4.
5.
Fluorescenza dei materiali
Fosforescenza dei materiali
Anisotropia dei materiali
Polarizzazione della luce
Sub-surface scattering di alcuni materiali
dielettrici (marmo, pelle umana,……)
31
Modelli di illuminazione locale
•
Regole generali per la scelta dei parametri
32
BSSRDF
• La BRDF non
considera il
cammino della
luce negli strati
sotto-superficiali
dei materiali (subsurface scattering)
33
BSSRDF
• La BSSRDF dipende dalle
direzioni di incidenza (xi,yi)
e riflessione (xr,yr) della
radiazione
• i è il flusso radiante
incidente in (xi,yi)
dLr ( r , r , x r , y r )
S ( i , i , xi , yi ,  r , r , x r , y r ) 
d i ( i , i , xi , yi )
d i  Li  cos  i  di  dAi  dEi  dAi
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Modelli locali che simulano la
BSSRDF
• Hanrahan (1993):
materiali a strati con BDRF e BTRF
• Wolff (1994):
modellato in 3 passi: rifrazione entrante,
diffusione interna, rifrazione uscente
• Pharr (2000):
BSSRDF ottenuta tramite funzioni
integrali
35
BSSRDF
• Modello di Jensen (2001)
– La BSSDRF viene approssimata con una BDRF
(supponendo illuminazione uniforme)
– Somma di due termini: riflettanza diffusa,
scalata con Fresnel + termine di scattering (1)
f r ( x,  i , i ,  r ,  r )  F
Rd

 f r ( x ,  i , i ,  r ,  r )
(1)
36
37
BRDF
BSSRDF