Instabilità nucleare
Nuclei stabili e instabili
I nuclei stabili sono concentrati in
una banda stretta nel piano N-Z
Tutti gli altri nuclei sono instabili
e decadono sponteneamente
 Decadimento = trasformazione per
raggiungere uno stato stabile (o più
stabile).
I processi di decadimento nucleare
sono di diversi tipi:
 Decadimento a = emissione di nuclei
di elio
 Decadimento b = emissione di
elettroni (o positroni) e neutrini
 Decadimento g = emissione di
radiazione elettromagnetica
 Fissione = scissione in 2 o piu’ nuclei
2
Decadimento b
Decadimento b-:
 Nuclei che nel piano N-Z hanno un
eccesso di neutroni rispetto a
quanto previsto dalla curva di
stabilità, tendono a “trasformare”
un neutrone in un protone
( Z , A)  ( Z  1, A)  e   e
Decadimento b+:
 Nuclei che nel piano N-Z hanno un
eccesso di protoni rispetto a
quanto previsto dalla curva di
stabilità, tendono a “trasformare”
un protone in un neutrone
( Z , A)  ( Z  1, A)  e   e
3
Cattura elettronica
Un nucleo ricco di protoni può catturare un elettrone
atomico e trasformare un protone in un neutrone
 Stesso effetto di un decadimento b+
 L’elettrone viene tipicamente catturato dalla shell K che è
caratterizzata da una funzione d’onda sensibilmente diversa da
zero nel volume del nucleo
e   ( Z , A)  ( Z  1, A)   e
 Es.
40
K  e  40 Ar   e
4
Decadimento a
Nei nuclei piu’ pesanti del Fe e
Ni, l’energia di legame per
nucleone B diminuisce al crescere
del numero di massa A
 Nuclei con alte masse sono instabili
per fissione e decadono in 2 o più
nuclei più leggeri
 La somma delle masse dei prodotti di
decadimento deve essere minore della
massa del nucleo originale
 Caso più frequente: decadimento a 2
corpi in cui uno dei nuclei prodotti è
un nucleo di elio
Decadimento a:
( Z , A)  ( Z  2, A  4) 24He
5
Bilancio energetico (I)
Un nucleo (Z,A) di massa M1 decade in un nucleo di massa
M2<M1 e la differenza di massa si converte in massa e
energia cinetica dei prodotti di decadimento
Il decadimento è un caso particolare di reazione nucleare
Si introduce il Q-valore di una reazione nucleare
 Differenza tra le energie (masse) dello stato iniziale e le masse
dello stato finale

 2
i
j
Q   M iniz   M fin  c
j
 i

Nel caso di decadimento nucleare
 Una sola particella nello stato iniziale
 Perché il decadimento possa avvenire deve essere Q > 0
6
Bilancio energetico (II)
Decadimento a:


Q  M ( Z , A)  M ( Z  2, A  4)  M ( 24He) c 2  0
Decadimento b:
Q  M ( Z , A)  M ( Z  1, A)  me c 2  0
Decadimento b:
Q  M ( Z , A)  M ( Z  1, A)  me c 2  0
Cattura elettronica:
Q  M ( Z , A)  me  M ( Z  1, A)c 2  0
 Ha un Q-valore più alto del decadimento b+ e quindi più energia
cinetica a disposizione delle particelle nello stato finale
 Ci sono casi in cui la differenza di massa tra (Z,A) e (Z-1,A) è troppo
piccola per consentire il decadimento b+, ma la cattura elettronica può
invece avvenire
7
Esempi (I)
Come può avvenire il decadimento di un nucleo di
 Candidati:
23Na
 Masse in gioco:
sum =
21423.99 MeV
Nessuno dei
decadimenti è
possibile, il 23Na è
stabile
8
Esempi (II)
Come può avvenire il decadimento di un nucleo di
 Candidati:
22Na
 Masse in gioco:
Sono possibili il
decadimento b+ e la
cattura elettronica
sum =
20494.90 MeV
9
Legge del decadimento
Fin dai primi anni di studio delle sostanze radioattive si è
scoperto che:
 L'attività (definita come il numero di decadimenti nell'unità di
tempo di una sostanza) decresce nel tempo con legge esponenziale
 1900: Rutherford e Solvay, studiando quantitativamente la variazione temporale
di attività del Radio-224.
 Crookes ottenne lo stesso andamento studiando la variazione di attività del
Thorio-234
 Il processo di decadimento è
di natura casuale.
 Deve essere trattato in modo
statistico/probabilistico
 La radioattività rappresenta
un cambiamento dell’atomo
individuale
234Th
10
Legge del decadimento (I)
Ipotesi
 La probabilità di decadimento nell'unità di tempo è una proprietà
della sostanza e del processo di decadimento e non dipende dal
tempo;
 in una sostanza contenente N nuclei, la probabilità di decadimento
nell'unità di tempo del singolo nucleo non dipende da N.
Si definisce rate di transizione (w) la probabilità che uno
stato X transisca in uno stato Y in un’unità di tempo
 Nell’ambito della radioattività viene chiamato anche costante di
decadimento
La probablità di transizione nel tempo dt vale quindi
dP  wdt
 Il rate w ha dimensioni [s-1]
11
Legge del decadimento (II)
Se la sostanza contiene N nuclei e se il numero N è grande in
modo da poterlo trattare come una variabile continua  la
variazione (diminuzione) del numero di nuclei nell'intervallo di
tempo dt vale:
dN  wNdt
Conoscendo il valore di N0 all’istante t=0 e integrando si
ottiene la legge del decadimento radioattivo
N (t )  N 0 e wt
L’attivita’ vale quindi:
A(t )  w N (t )  w N 0 e wt
 si misura in Becquerel (Bq) cioè numero di decadimenti al secondo
 Storicamente si è usato spesso il Curie (Ci) equivalente all’attività di
un grammo di radio che vale 3.7  1010 Bq
12
Vita media
La vita media vale:




0

0
t N (t ) dt
N (t ) dt


N0  t e
0

N0  e
0
wt
wt
dt
dt

1
0
w




0
t d (e wt )
e
wt

dt

1  wt
te

w

1  wt
  e wt dt 
e dt
0
1
 w 0
0




wt
wt
e
dt
e

 dt w
0

0
Si usa spesso il tempo di dimezzamento(= tempo dopo il
quale l’attività del radionuclide è dimezzata)
t1/ 2   ln( 2)
13
Decadimenti multi-modali (I)
Un particolare processo di decadimento si chiama canale (o
modo) di decadimento.
Consideriamo un materiale radioattivo per cui sono possibili più
modi di decadimento
 Ad esempio il 212Bi che può decadere sia a che bSi definiscono dei rate di transizione parziali (wi) per i singoli
modi di decadimento
 Siccome i canali sono indipendenti, il numero di decadimenti al sec è:
dN


 w1 N  w2 N  ...  wn N    wi  N
dt
 i

 Il nucleo decade quindi seguendo la legge di decadimento esponenziale
con un rate di transizione:


w    wi 
 i

14
Decadimenti multi-modali (II)
La frazione fi di nuclei che decade nel canale i si chiama
branching fraction:
wi
fi 
w
La vita media è data da:


     wi 
w  i 
1
1
15
Decadimenti in cascata (I)
Se i nuclei prodotti nel decadimento sono instabili, essi
stessi decadono  decadimento a cascata
X A  X B  X C  ...  X N
 con XN stabile
Consideriamo come esempio il caso in cui XA->XB->XC
 Sistema di 3 equazioni differenziali
 dN A (t )
 dt  w A N A (t )

 dN B (t )
 w A N A (t )  w B N B (t )

 dt
 dN (t )
 C  w B N B (t )
 dt
 N (t )  N e w1t
A0
 A

 dN B (t )
w At

w
N
e
 w B N B (t )

A
A0
 dt
 dN (t )
 C  w B N B (t )
 dt
16
Decadimenti in cascata (II)
Lavoriamo sulla specie XB:
dN B (t )
 w A N A0 e w At  w B N B (t )
dt
e
wBt
dN B (t )
 w B ew Bt N B (t )  w A N A0 e ( w A wB )t
dt


d
N B (t )ewB t  w A N A0 e ( w A w B )t
dt
N B (t )e
wBt
wA

N A 0 e ( w
wB  w A
A w B ) t
wA
N B (t ) 
N A0 e w t  C e w
wB  w A
A
C
Bt
17
Decadimenti in cascata (III)
Il valore della costante C si ricava da NB(t=0)=NB0:
N B (0) 
wA
N A0  C  N B 0
wB  w A
wA
C  N B0 
N A0
wB  w A
 Da cui:
N B (t ) N B 0 e
w B t
wA

N A0 e w t  e w t 
wB  w A
A
B
Caso particolare: XB stabile, quindi
wB=0
N B (t ) N B 0  N A0 1  e w At

 Se NB0 = 0, allora:


N B (t ) N A0 1  e w At

18
Decadimenti in cascata (IV)
Passando ai nuclei stabili XC:
dN C (t )
w Aw B
w B t
 w B N B (t )  N B 0 w B e 
N A0 e w At  e w Bt
dt
wB  w A


N C (t )  N C 0   N B 0 e


w B t t
0
NC (t )  NC 0  N B 0 1 e

t
t

 wA
wB
w At 
w B t 
 
N A0 e   
N A0 e 
 wB  w A
 0  wB  w A
0
w B t


wA
wB
w B t
w At 
 N A0 1 
e

e 
wB  w A
 wB  w A

19
Decadimenti in cascata (V)
Nel caso particolare in cui NB0=0 e NC0=0:
N A (t )  N A0 e w At
wA
N B (t ) 
N A0 e w t  e w t 
wB  w A
A
B

wA
wB
w B t
w At 
N C (t )  N A0 1 
e

e 
wB  w A
 wB  w A

20
Catene di decadimenti
Per una catena di decadimenti X1 -> X2 -> … -> XN si ha:
dN1 (t )
 w1 N1 (t )
dt
dN i (t )
...
 wi 1 N i 1 (t )  wi N i (t )
dt
dN N (t )
...
 w N 1 N N 1 (t )
dt
 dove XN è un nucleo stabile, quindi wN=0
Se per t=0 si ha: N2_0= N3_0 = … =NN_0 le abbondanze sono:

Ni (t )  N1_ 0 C1i ew1t  C2i ew2t  ...  Cii ewit
 con:

w1w2 ...wi 1
(w2  w1 )(w3  w1 )...(wi  w1 )
w1w2 ...wi 1
C2i 
(w1  w2 )(w3  w2 )...(wi  w2 )
C1i 
...
Cii 
w1w2 ...wi 1
(w1  wi )(w2  wi )...(wi 1  wi )
21
Equilibrio secolare
Tornando al caso di X1 -> X2 -> X3 con X3 stabile: se 1>>2,
cioè w1<<w2, allora:
N 2 (t ) 
 cioè:
w1
w2  w1

N1_ 0 e
w1t
e
w 2t
w1
w1
w t
  w N1_ 0e  w N1 (t )
2
2
1
w2 N2 (t )  w1 N1 (t )
In una catena di decadimenti, quando per un elemento Xi
risulta wi<<wi+1 e <<wi+2 e … <<wN, allora tutti i nuclei che
seguono l’i-esimo decadimento hanno la stessa attività:
wi Ni (t )  wi 1 Ni 1 (t )  wi 2 Ni 2 (t )  ...  wN N N (t )
 Questa condizione si chiama equilibrio secolare
Se la condizione è vera a partire dal capostipite X1, allora
tutta la catena radioattiva si trova in equilibrio secolare 22
Famiglie radioattive (I)
Vi sono tre famiglie radioattive presenti in natura, in equilibrio
secolare i cui capostipiti sono radionuclidi la cui vita media è >≈
di quella della Terra (109 anni) e >> di quella dei discendenti:
 Poichè il decadimento a cambia il numero di massa di 4 unità e il
decadimento b lo lascia invariato, le famiglie di elementi radioattivi che
decadono l’uno nell’altro in sequenza sono caratterizzate dall’avere
numeri di massa intervallati di quattro unità
 Serie dell’Uranio
(famiglia 4n+2)
 Capostipite: 238U,
t1/2 = 4.5 109 anni
 Serie dell’Attinio
(famiglia 4n+3)
 Capostipite: 235U,
t1/2 = 7.13 108 anni
 Serie del Torio
(famiglia 4n)
 Capostipite: 232 Th,
t1/2 = 1.4 1010 anni
23
Famiglie radioattive (II)
In più, c’è una serie non più esistente in natura, che
può essere prodotta artificialmente:
Serie del Neptunio (famiglia 4n+1)
 Capostipite 241Pu
 Elemento più longevo: 237Np con t1/2 ≈ 106 anni
24
Radio-nuclidi naturali
25
Decadimento a
Caratteristiche dei decadimenti a
La maggior parte degli isotopi creati artificialmente con
numero di massa maggiore del Piombo sono emettitori a.
Non vi sono emettitori a con A<146 (146Sm, con Z=62)
 Dovuto all’andamento
dell’energia di legame
per nucleone (B/A) in
funzione di A
 Emettendo una particella a,
un sistema nucleare
guadagna energia solo se
si trova a valori di A
maggiori del massimo
della curva B/A
27
Caratteristiche dei decadimenti a
Perché il decadimento avvenga, deve essere


Q  M ( Z , A)  M ( Z  2, A  4)  M ( 24He) c 2  0
Energia cinetica della particella a
 Dalla conservazione dell’ impulso-energia, se il nucleo decade a
riposo:
0  pa  PDauNucl
pa2
Q
2ma
Q  Ta  TDauNucl
2
pa2
PDauNucl


2ma 2M DauNucl

ma 
1 

 M DauNucl 
28
Caratteristiche dei decadimenti a
L’energia delle particelle a emesse varia tra 4 e 9 MeV
I tempi di dimezzamento dei nuclei che le emettono variano
invece tra 1010 anni e 10-7 secondi.
 In altri termini, i rate di transizione w variano di 24 ordini di
grandezza pur trattandosi dello stesso processo fondamentale
Geiger e Nuttal osservarono fin dal 1911 una correlazione tra
l’energia cinetica della particella a e il tempo di dimezzamento
 Ad energie minori corrispondono tempi di dimezzamento maggiori e
viceversa
 Legge empirica di Geiger-Nuttal:
log w  k log Ta  c
 La relazione fu originariamente formulata usando il tempo di dimezzamento e il
range in aria (a 15°C e 1 atm) delle particelle a
log t1/ 2  K log Ra  C
 Le due formulazioni sono equivalenti se si considera che il range RaTa3/2 e quindi
log(Ra ) log(Ta)
29
Legge empirica Geiger-Nuttal (1)
log 10 t1/ 2  57.5 log 10 Ra  C
30
Legge empirica Geiger-Nuttal (2)
Se si fa un plot del tempo di dimezzamento per tutti gli emettitori a,
si osserva una considerevole dispersione dei punti misurati rispetto
alla curva della legge di Geiger-Nuttal
 Gli andamenti risultamo più definiti e smooth se si considerano solo emettitori
a con la stessa Z (= stesso elemento)
 In particolare, il trend è netto per nuclei pari-pari. Nuclei pari-dispari, disparipari e dispari-dispari seguono in trend generale, ma con maggiori fluttuazioni
31
Legge empirica Geiger-Nuttal (2)
A parità di Q-valore (o energia cinetica Ta), la vita media
aumenta con il numero atomico Z
32
Teoria del decadimento a
Teoria elementare sviluppata da Gamow e
indipendentemente da Condon e Gurney nel 1929
Energia potenziale U(r) per una particella a in funzione
della distanza tra la particella a stessa e il centro del
nucleo rimanente
 NOTA: Z e’ il numero di protoni nel nucleo figlio, Z=Zparent-2
Per r<R (R=raggio del nucleo)
 Prevalgono le forze nucleari
 Particella a in una buca di
potenziale costante a simmetria
sferica
Per r> R
 Le forze nucleari sono inefficaci
 Prevale il campo coulombiano
zZe 2
U (r ) 
40 r
33
Teoria del decadimento a
Due casi per l’emissione di una particella a con energa Ta:
 Ta > U(R): la particella a è libera di lasciare il nucleo e lo farà
quasi istantaneamente
 Istantaneamente = in un tempo comparabile con quello che impega la
particella a ad attraversare il nucleo: t = R/va = R*√(ma/2Ta) ≈ 10-21 s
 Ta < U(R): la particella a classicamente è confinata nel nucleo.
Quantisticamente può penetrare la barriera di potenziale per
effetto tunnel ed emergere con energia cinetica = 0 a distanza
r=b e poi muoversi a grande r dove avrà energia cinetica Ta
2 Ze 2
U (r ) 
40 r
2Ze 2
U (b) 
40b
2Ze 2
 b
40Ta
Free a-particle
b
34
Tunneling della barriera coulombiana (1)
Si può pensare la barriera coulombiana discretizzandola in
una serie di barriere di spessore Dr e altezza costante
Dr
Per ogni elemento discreto della barriera si può scrivere
l’equazione di Schroedinger per la componente radiale:
d 2u 2ma

Ta u  0
dr 2

(regioni 1 e 3)
d 2u 2ma

(Ta  U r ) u  0
dr 2

(regione 2)
35
Tunneling della barriera coulombiana (2)
La soluzione risulta:
u1  e
i
r
2 ma Ta

u2  a e
u3  a e
 Be
i
r
2 ma (U 0 Ta )

i
r
2 ma Ta

be

r
2 ma (U 0 Ta )

r
2 ma Ta

 si è posto =1 il coefficiente dell’onda incidente sulla barriera
 si è considerata nella regione 3 solo l’onda uscente
 particella a che si sposta verso r crescente allontanandosi dal nucleo
 Le costanti B, a, b e a si determinano imponendo la continuità della
funzione d’onda e della sua derivata nei punti di discontinuità del
potenziale
La probabilità di trasmissione attraverso la barriera è:
PT 
u3
2
u1,inc
a e
2
2

2
2 ma (U 0 Ta ) Dr

36
Tunneling della barriera coulombiana (3)
Sommando i contributi degli elementi Dr e passando al
continuo:
PT   e
2
 Dr 2 ma (U 0 ,r Ta )

Dr 0
 e
2


b
R
2 ma (U ( r ) Ta ) dr
 e G
 Dove si è introdotto il fattore di Gamow:
2 b
2 b
2 Ze2
2 Ze2
G  R 2ma (U ( r )  Ta ) dr  R 2ma (

) dr


40 r 40b
U (b)  Ta

2 Ze2
b
40Ta
37
Tunneling della barriera coulombiana (4)
Sommando i contributi degli elementi Dr e passando al
continuo:
PT   e
2
 Dr 2 ma (U 0 ,r Ta )

Dr 0
 e
2


b
R
2 ma (U ( r ) Ta ) dr
 e G
 Dove si è introdotto il fattore di Gamow:
2 b
2 b
2 Ze 2
2 Ze 2
G  R 2ma (U (r )  Ta ) dr  R 2ma (

) dr 


40 r 40b
ma Ze 2 b  1 1 
ma Ze 2b 
R
R R2 


2

dr

2
arccos






2 
0  2 R  r b 
0  2 
b
b
b



 Per eseguire l’integrale si usa la sostituzione r=bcos2
38
Fattore di Gamow (1)
Nell’espressione del fattore di Gamow, appare il rapporto R/b
tra il raggio del nucleo e la distanza b a cui l’energua cinetica
della particella a equivale al potenziale coulombiano U(R)
Se U(R) >> Ta (cosa vera per tutti gli emettitori a noti) si ha
R<<b e quindi si può approssimare sviluppando in serie di
McLaurin l’arccos e la radice :
ma Ze 2b 

G2
arccos
2 
0  

ma Ze 2b 
 
2

2 
0  
 2
R

b
R

b 
R R2 

 2 
b b 

R
1
1 
b 
2
ma Ze 2b 
R 
R

  2

2

2 
b 


2
b
0



39
Fattore di Gamow (2)
Il raggio a cui la particella a esce dalla barriera e’:
2 Ze 2
b
40Ta
Sostituendo:
ma Ze 2b 
R
G2
2

2 
0  2
b
ma Ze 2
0 2
Costante di struttura fine: a 
G 
ma Z 2 e 4
2 2 02  2
 1

 Ta
 Ze 2

 20Ta

ma Ze 2 R
  4
0 2

e2
40 c

ma Ze 2 R
ma c 2
ma c 2 ZRa
  4
 4a Z
8
2
0 
2Ta
c

40
Rate di transizione
La probabilità PT dà la probabilità di penetrazione della barriera
coulombiana per una particella a che si avvicina alla barriera
Per avere il rate di transizione, si deve moltiplicare questa
probabilità per la frequenza degli urti della particella a con la
barriera (cioe’ per il numero di “tentativi” fatti dalla particella a
di penetrare la barriera)
vaNucleus G
w
e
2R
 Dove vaNucleus è la velocità della particella a nel nucleo
41
Legge di Geiger-Nuttal (1)
vaNucleus G
w
e
2R
Prendendo i logaritmi si ottiene:
 vaNucleus 
  G 
ln w  ln 
 2R 
 vaNucleus  
ma c 2 ZRa
ma c 2
  4a Z
8
 ln 

c
2Ta
 2R  




 vaNucleus 
ma c 2 ZRa
ma c 2
  8

 ln 
 4a Z
c
2Ta
 2R 
2

c
m
a
  4a

2

2
  v Nucleus 
 Z
ZRa
c
m
a
a

  8
 ln 
 Ta   2 R 
c





42
Legge di Geiger-Nuttal (2)
Quindi:
 vaNucleus 
Z


ln w  ln 
 G  g
C

Ta
 2R 
 Con:
ma c 2
g  4a
 3.97 MeV1/ 2
2
 vaNucleus 
ma c 2 ZRa
  8
C  ln 
c
 2R 
 Dove g è una costante, mentre C dipende da vaNucleus e da R e quindi
varia leggermente per i diversi emettitori a
 Non è esattamente la legge empirica di Geiger e Nuttal perché c’è
1/√Ta invece del logaritmo, ma per valori di Ta compresi tra 4 e 7 MeV
la differenza è minore del 3%
43
Considerazioni
La dipendenza trovata con il modello
Z
ln
w


g
C
elementare (che è chiaramente molto
Ta
semplificato) consente comunque di:
 Riprodurre la dipendenza osservata della vita media dall’energia della
particella a rendendo conto della variazione su più di 20 ordini di
grandezza
 Spiegare come mai l’intervallo di variazione del rate di tranzione w è
molto maggiore di quello dell’energia cinetica Ta
 Una variazione del 10% in Ta cambia il rate w di un fattore 1000
 Spiegare l’osservazione sperimentale per cui a energia cinetica Ta
costante la vita media aumenta col peso atomico.
 All'aumentare di A, aumenta sia la carica elettrica che il raggio del nucleo e quindi
aumenta il fattore di Gamow che dipende dall’altezza e dalla larghezza della
barriera di potenziale
 Spiegare come mai c’è un limite inferiore per l’energia cinetica della
particella a
 Per Ta < 4 MeV la vita media risulterebbe talmente lunga (>1018 s) da rendere questi
decadimenti difficilmente ossevabili
 Questo spiega anche come mai non ci sono nuclei emettitori a con Z<62 dove il Q
44
valore risulta minore di 2 MeV
Soglia di instabilità
A questo punto possiamo
calcolare in modo più
quantitativo i valori di A e
Z per cui il decadimento a
è possibile usando:
 Il Q valore calcolato dalla
linee a Q costante
nel piano Z-A
formula di Weizsacker per la
massa del nucleo
 La considerazione che per
Q≈Ta<4 MeV i decadimenti a
sono estremamente
improbabili
2
2
Z
(
A

2
Z
)
M ( A, Z )  ZM p  ( A  Z ) M n  aV A  aS A2 / 3  aC 1/ 3  a A
A
A

Q  aS A
2/3
 ( A  4)
2/3
4
2/3

 ( A  2 Z ) 2  A  2 Z  82 
 Z2
( Z  2) 2
2/3 
 aC  1/ 3 
 4   aA 

1/ 3
45 
A
(
A

4
)
A
(
A

4
)




Approssimazioni (1)
Va notato che il fattore di Gamow G è grande (≈30-50) quindi
una piccola indetermiazione sui parametri comporta una grande
variazione sul rate w (e-2G)
Si è assunto che il nucleo figlio abbia massa >> della particella a.
 Questa approssimazione è facilmente correggibile usando la massa
ridotta del sistema nucleo+a [ m=maMDauNucl/(ma+MDauNucl) ] e l’energia
cinetica totale (cioe’ Q) invece di Ta.
ln w   gZ
m
ma Q
 C
Si è assunto R/b<<1, mentre si poteva usare l’espressione
completa di G
Il trattamento delle particelle a all’interno del nucleo è
semplicistico: la particella a non esiste stabilmente all’interno
del nucleo
 Un trattamento corretto richiederebbe di usare la funzione d’onda di
tutti i nucleoni nel nucleo “genitore” e calcolare l’ampiezza di
probabilità di trovare una particella a e il nucleo “figlio”.
 Non è possibile fare questo trattamento in modo rigoroso
46
Approssimazioni (2)
La probabilità di trovare una particella a nel nucleo è diversa
tra nuclei pari-pari, pari-dispari e dispari-dispari
 A parità di altre condizioni, i rate di transizione osservati in nuclei
pari-pari sono più alti che negli altri tipi di nuclei
I dettagli della struttura nucleare influiscono sul rate di
transizione w attraverso l’energia di legame per nucleone
 Ad esempio, nel modello a shell si ha la “chiusura” di una shell nucleare
quando N = 126 (numero magico)
 Un nucleo genitore con N=128 avrà un Q-valore per il decadimento a
molto più alto (di molti MeV) di un nucleo con lo stesso Z ma con
N=126
La forma del potenziale assunto è chiaramente idealizzata
 Il fatto che w sia estremamente sensibile a piccole variazioni di Ta
suggerisce che questo sia un effetto importante
Si è assunto che il potenziale nucleare abbia simmetria sferica
 Tuttavia si sa che molti dei nuclei più pesanti del Pb sono deformati e
questo può influire sul rate di transizione
47
Barriera di potenziale centrifugo
Quando il nucleo “genitore” e il nucleo “figlio” hanno spin
diverso
 Lo spin di un nucleo è dato dalla somma vettoriale dei momenti di
spin e momenti angolari dei nucleoni che lo costituiscono
 Sono catatteriazzati da numeri quantici jP jD che sono entrambi
numeri interi per nuclei con A pari e semi-interi per nuclei con A
dispari
Siccome la particella a ha spin 0, e il momento angolare
deve essere conservato, la particella a deve essere
emessa con un momento angolare orbitale non nullo
relativamente al nucleo “figlio” che rincula
 Il momento angolare orbitale della particella a è caratteriazzato
da un numero quantico l che deve essere un numero intero 0.
Conservazione del momento angolare:
jD  jP    jD  jP
48
Momento angolare
Nel caso in cui la particella a venga emessa con l 0,
l’equazione di Schrodinger è:



2
2Ze 2
2

  (r ) 
 (r )  Q (r )
2ma
40 r
Separando le variabili si scrive:

u (r )
 (r )   (r )Y (cos  ,  ) 
Y (cos  ,  )
r
 La parte angolare ha come soluzione le funzioni armoniche sferiche
Ylm(cos,)
L’equazione di Schrodinger per la componente radiale
diventa:
 2 d 2u (r )  2Ze 2 (  1) 2 



u (r )  Q u (r )
2 
2ma dr 2
4

r
2
m
r
0
a


49
Barriera di momento angolare
Nel caso in cui la particella a venga emessa con l 0, la
barriera dipotenziale a distanza r risulta:

0U (r )  (  1)
U (r ) 
2ma r 2
2
ed è maggiore di quella coulombiana di un termine
l(l +1)ħ2/2mar2
detto barriera centrifuga
La barriera centrifuga dovuta al momento angolare
 Rende la barriera più difficile da superare per effetto tunnel
 Riduce i rate di transizione e quindi aumenta le vite medie
50
Barriera centrifuga
Considerazioni quantitative sulla barriera centrifuga
2Ze 2 (  1) 2
V (r ) 

40 r
2ma r 2
 L’effetto di variazione del potenziale è piccolo
l
 Esempio per =2, Z=90 a distanza r=15 fm il termine coulombiano vale 17.3
MeV, mentre quello centrifugo vale 0.14 MeV (meno dell’1%)
 Tuttavia, un aumento dell’1% del fattore di Gamow porta ad una
diminuzione di un fattore 2-3 del rate di transizione e a un
aumento di un fattore 2-3 della vita media
 Esempio: Valori numerici calcolati da Blatt e Weisskopf nel 1952 per il caso di
un decadimento a con Z=86, Ta=4.88 MeV, R=9.87 fm
l
0
1
2
3
4
5
6
wl /w0
1.0
0.7
0.37
0.137
0.037
0.0071
0.0011
51
Barriera centrifuga e decadimenti
Consideriamo il decadimento a:
242
94
Pu  238
92 U  a
(  373000 y )
che può avvenire sullo stato fondamentale del
tre stati eccitati
 Il modo dominante è quello nello
238U
o in uno dei
stato fondamentale con spin 0
 I decadimenti sugli stati eccitati
sono meno probabili per il minor Q
e perché il valore di l aumenta
 Dalla teoria elementare con sola
barriera coulombiana ci si aspetta:
 4Za
w6 e

w0
 4Za
e
ma c 2
2Ta , 0
2
ma c
2Ta , 6
 5.4 10 3
 Il valore misurato è 2.010-5, quindi l’effetto della barriera centrifuga
è un fattore 2/540=0.0037, simile a quanto previsto da Blatt e
Weisskopf
52
Fissione spontanea
Fissione spontanea di nuclei
Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o
più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi
 Nel caso del decadimento a, è la grande energia di legame della
particella a (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento
La barriera di potenziale da superare per avere fissione
spontanea è così alta che queste reazioni di fissione sono
in generale estremamente improbabili
 Il nucleo più leggero in cui si osserva fissione spontanea è il 226Ra
 I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è
paragonabile a quella di decadimento a sono certi isotopi
dell’uranio.
 Caso del 238U: la probabilità di decadimento a per unità di tempo è wa=5·10-18
s-1, mentre quella per fissione spontanea è wfiss=3·10-24 s-1, con un
rapportowfiss/wa di circa 6·10-7.
 All’aumentare del numero di massa A aumenta il branching ratio
per fissione spontanea e la fissione spontanea diventa dominante
per A > 260.
54
Fissione spontanea di nuclei
Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o
più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi
 Nel caso del decadimento a, è la grande energia di legame della
particella a (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento
 I nucleoni nel 12C sono più legati (B/A=7.6 MeV) che nella particella
a e quindi il decadimento in 12C è energeticamente possibile nei
nuclei pesanti
 Il rate di fissione
spontanea e’
significativamente alto
in nuclei più pesanti
del Torio e soprattutto
nei transuranici
55
Fissione spontanea
Caratteristiche:
 I prodotti di fissione sono normalmente lontani dalla curva di stabilità
dei nuclei (per eccesso di neutroni) e per raggiungere la stabilità
avvengono poi diversi decadimenti b La produzione di frammenti con uguale (o quasi uguale) numero di
massa è poco probabile, l’esito più comune è una fissione asimmetrica
 Il valore più probabile di differenza di numero dimassa tra i prodotti di fissione è
circa 45
56
Modello per la fissione spontanea
Dal modello a goccia:
 Variazione di energia di legame se il nucleo si deforma da sfera a
ellissoide, mantenendo il volume costante (piccola deformazione)
a  R (1   )
a
b
b
R
1 
2
4
4
4 3
 1 
V  ab2  R3 (1   )
  R
3
3
3
 1  
 Effetto sul termine Coulombiano e sul termine di superficie
R  R(1   )
2
aS  aS (1   ) 2  aS (1  2 )
 1
aC  aC
aS  R
aC  R
1
 aC (1   )
1 
 Variazione dell’energia di legame (attenzione: molto approssimata!)
2
2




Z
Z
2/3
2/3
DM  M ( ) M (  0)   2aS A  aC 1/ 3   A 2aS  aC

A
A




57
Modello per la fissione spontanea
Basato sul modello a goccia:
 Potenziale in funzione della distanza tra i due frammenti all’interno
del nucleo genitore determinato da due forze antagoniste: tensione
superficiale e repulsione coulombiana
 A piccole separazioni domina la tensione superficiale e l’energia di legame diminuisce
se il nucleo si deforma da sferico a prolato
 Quando la deformazione aumenta si può raggiungere un punto in cui il nucleo si
spezza in due parti
E’ un problema di
penetrazione di una
barriera di potenziale
 L’altezza della barriera si
chiama energia di
attivazione e vale 6-8
MeV per A=238 e
diminuisce al crescere di
Z2/A
 Per Z2/A>49 fissione
immediata
 Per il Fermio (Z=100)
Z2/A~39-40
Z1 Z 2 e 2
VC ( s ) 
40 s
deformation
Break-up
Separation
58