Istituzioni di Fisica Subnucleare
A. Bettini 2006
Capitolo 3
Le simmetrie
12/21/2015
C.3 A. Bettini
1
Le simmetrie in meccanica quantistica
Le regole che limitano la possibilità di uno stato iniziale di trasformarsi in qualche stato finale
in un processo quantistico (collisione o decadimento) sono chiamate leggi di conservazione e
sono espresse in termini di numeri quantici degli stati. Ci sono diversi tipi di numeri quantici
1.Additivi continui  una trasformazione finita si ottiene come somma di trasformazioni
infinitesime. Traslazioni nello spazio-tempo  Energia e momento. Rotazioni spaziali 
Momento angolare
2.Additivi discreti. Carica elettrica, numero barionico, numero leptonico. La “carica” di n
particelle con carica c è nc
3.Simmetrie interne. Sono continue; le trasformazioni avvengono in uno “spazio unitario” e
corrispondono a diverse combinazioni all’interno di un dato gruppo di particelle che si
comportano in modo analogo. Invarianza di carica delle forze nucleari  isospin, SU(2);
inclusione delle particelle strane  SU(3)
4.Moltiplicativi discreti. Non si possono costruire a partire da trasformazioni infinitesime. I
più importanti: inversione degli assi P, coniugazione particella-antiparticella C, inversione del
tempo T. Lo stato torna se stesso per doppia applicazione
P2=C2=T2=1
 P=±1, C= =±1, T =±1
La conservazione o meno di un determinato numero quantico in una determinata interazione
deve essere stabilita sperimentalmente
IF e IEM conservano P, C e T, ID violano P, C, CP
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2
La
parità
L’operazione P inverte le coordinate (equivalente, inverte una)
r  –r
Lascia invariato il tempo
t t
Di conseguenza inverte le quantità di moto (vettori)
p  –p
E lascia invariati i momenti angolari (vettori assiali)
rp  rp
La parità del vuoto è per definizione +
Per una particella di momento p e spin s
r r
r r
r r
P p, s   P  p, s    p, s
Una singola particella può essere autostato di P solo se ferma
r r
r r
P 0, s   P 0, s
La parità intrinseca zP della particella è definita come l’autovalore dell’operatore P nel
riferimento in cui la particella è ferma. Può essere zP=+1 (pari) o zP=–1 (dispari)
Per i bosoni la parità intrinseca può definirsi senza ambiguità con le leggi di conservazione
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3
La parità
I fermioni hanno spin semintero e la conservazione del momento angolare impone la loro
produzione in coppie. Si possono definire solo parità relative. Per convenzione P(p) = +1
L’equazione di Dirac e, più in generale la teoria dei campi, implicano che le parità di un
fermione e della sua antiparticella siano opposte, di un bosone e del suo anti-bosone siano
uguali. Quindi, in particolare, P( p) = –1, P(e+)=–1
Gli iperoni strani sono prodotti dalle interazioni forti in coppia con un’altra particella strana,
il che impedisce di determinare le parità di entrambi. Non si può usare il decadimento
Lpπ– che, come interazione debole, non conserva la parità. Per convenzione P(L)=+1
Per definizione tutti i quark hanno parità +1
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4
Il fotone
Consideriamo un atomo di idrogeno che si disecciti dallo stato H** allo stato H*. Le transizioni
sono di dipolo elettrico (E1). Vale la regola ∆l=±1, quindi anche cambio di P
Dato che la parità si conserva, il fotone ha
JP=1–
Stessa cosa, diversamente: il fotone è il corrispondente quantistico del potenziale vettore A che
è un vettore
In generale una particella di spin J=1 ha, rispetto ad un asse prefissato, ad esempio la linea
di volo 2J+1 = 3 componenti
Si dimostra che il fotone (e in generale le particelle di massa nulla) ne ha solo 2.
Corrispondono ai due stati classici di polarizzazione circolare destra e sinistra
I due stati di polarizzazione del fotone
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J
J
p
p
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5
Parità di due pioni. nuova
Sistema di due particelle con J=0 e parità intrinseche z1 e z2 nel sistema del cm. Si muovono
una con momento p e momento angolare l e terza componente m : lo stato |p, l, m>
Consideriamo gli stati di momento definito. Una particella ha momento p agli angoli q,f,
l’altra –p: lo stato |p,q,f>= |p, –p>
r r
p,l, m   p,q , f p,q , f p,l, m  Yl*m q , f  p, p
q ,f
q ,f
L’inversione spaziale in coordinate polari
rr
qπ–q
fπ+f
Yl m q , f   Yl m   q ,   f   1 Yl m q , f 
l
r r
r r
l
l
P p,l, m   1 2  Yl*m   q , f     p, p   1 2 1  Yl*m q , f  p,  p   1 2 1 p,l, m
q ,f
q ,f
P  1 2 1
l
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Parità di due pioni
Sistema di due particelle con J=0 e parità intrinseche z1 e z2 nel sistema del cm. Si muovono
una con momento p e momento angolare l e terza componente m : lo stato |p, l, m>
Consideriamo gli stati di momento definito. Una particella ha momento p agli angoli q,f,
l’altra –p: lo stato |p,q,f>= |p, –p>
r r
p,l, m   p,q , f p,q , f p,l, m  Yl*m q , f  p, p
q ,f
q ,f
L’inversione spaziale in coordinate polari
rr
qπ–q
fπ+f
2l  1l  m !P m cosq eimf

l 
4 l  mm
m
 d  m
Pl m cosq   1 sin m q 
ml
 Pl cosq 

Yl*m q , f  
d cosq
eimf  eimf    1 eimf
m
Pl m cosq   Pl m cos   q  1
lm
Pl m cosq 
Yl m q , f   Yl m   q ,   f   1 Yl m q , f 
r r
r r
l
l
P p,l, m   1 2  Yl*m   q , f     p, p   1 2 1  Yl*m q , f  p,  p   1 2 1 p,l, m
l
q ,f
q ,f
P  1 2 1
l
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Parità di due mesoni, di fermione-antifermione
P  1 2 1
l
Due mesoni, m1, m2 dello stesso tipo con la stessa parità intrinseca  z1 z2 = +
Se nel CM è autostato
Qualsiasi siano gli spin  P=(–1)l
I pioni hanno JP = 0– quindi l=J
Diversi π+π– o π±π˚
JP= 0+, 1–, 2+, 3–,… (parità “naturale”)
Uguali π+π+, π–π– o π˚π˚, per Bose l=J= pari
JP= 0+, 2+,…
Fermione-antifermione: f f
Parità intrinseca opposte  z1 z2 =–
Qualsiasi siano gli spin  P=(–1)l+1
Trovare i valori di JP di particella-antiparticella di spin 1/2 in l=0, 1 (p p, e+e–, q q)
Se l=0 (onda S) P=–, se l=1 (onda P), P=+
Notazione spettroscopica: 2ˆsˆ+1LJ
1S
0
 JP=0–, 3S1  JP=1–
1P
 JP=1+, 3P0  JP=0+, 3P1  JP=1+, 3P2  JP=2+.
1
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8
Test della conservazione di P
I test più sensibili della conservazione di P nelle interazioni forti sono basati sulla ricerca di
decadimenti di stati nucleari o di mesoni che potrebbero avvenire tramite interazione forte se
questa violasse P
Esempio 1: decadimento di uno stato pseudovettore in due scalari uguali, 1+ 0++ 0+, non può
avvenire conservando P
Le velocità di decadimento e le sezioni d’urto sono proporzionali al quadrato del modulo
dell’ampiezza di transizione |T|2, che è scalare sia che T sia scalare sia che sia pseudoscalare.
Per avere un effetto devono contribuire entrambe
T = TS+TP
Un caso è il decadimento del livello eccitato del 20Ne (Q=13.2 MeV)
20Ne*(1+)  16O (0+)+ a
Si cerca una risonanza nel processo p + 19F [20Ne*(1+)]  16O (0+)+ a
Non trovata
2
TP / TS  10 –8
Esempio 2. Un mesone pseudoscalare, come la h non può decadere in 2π


 h     /  tot  3.3 10 –4
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

 h   0 0 /  tot  4.3 10 –4
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Coniugazione “di carica”
C applicato ad una particella la trasforma nell’antiparticella, lasciando lo spazio invariato, ma
cambiando segno a tutti i numeri quantici interni (cariche). (Se si incontrano si annichilano,
resta il vuoto, con cariche tutte nulle)
r r
r r
C p, s, Q   p, s, Q
Il fotone corrisponde in EM classico al potenziale vettore A. Cambia segno se si
sostituiscono le particelle che lo creano con le antiparticelle (le cariche cambiano segno)
C A  A
C    
Il fotone ha coniugazione di carica negativa
C è moltiplicativo, quindi per n
C(n) = n C()=(–1)
Per trovare C(π˚), consideriamo il decadimento π˚ 2
Analogamente dall’esistenza di
h 2
Per i π carichi
C(π˚) = +
C(h) = +
C|π+> = + |π–>
Test della conservazione di C nelle interazioni
EM e forti sono basati sulla non osservazione
di decadimenti proibiti. Ad es. per EM
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



  0  3 /  tot  3  10 8
 h  3  /  tot  5 104
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C per coppia particella-antiparticella
Stato di un mesone e sua antiparticella, senza spin, nel c.m..
Autostato del momento angolare: momento p, momento angolare l, terza componente m
Le due parità sono tra loro uguali e così le coniugazioni di carica z1 z21, 1 21
C scambia le due e quindi è equivalente a P
C p,l, m  1 2 1 p,l, m  1 p,l, m
l
l
Stato di un mesone e sua antiparticella con spin totale (≠momento angolare totale) S.
Per scambio di spin  (–1)s
Per esempio 11 = 0 (simmetrico) 1 (antisimmetrico)  2 (simmetrico)
ls
C p,l, m  1 p,l, m
Parità intrinseche uguali
Stato di un fermione e sua antiparticella con spin totale s. Per scambio di spin  (–1)s+1
Per esempio 1/21/2 = 0 (antisimmetrico) 1 (simmetrico)
Parità intrinseche opposte
ls1
ls
C p,l, m   1
p,l, m  1 p,l, m
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P
C
m m
(–1)l
(–1)l+s
f f
(–1)l+1
(–1)l+s
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P e C per coppia fermione-antifermione
P=(–1)l+1
C=(–1)l+s
Trovare i valori di JPC di particella-antiparticella di spin 1/2 in l=0, 1 (p p, e+e–, q q)
Se l=0 (onda S) P=–, se l=1 (onda P), P=+
Notazione spettroscopica: 2ˆsˆ+1LJ
1S
0
 JPC=0–+
3S
1
 JPC=1– –
1P
1
 JPC=1+ –
3P
0
 JPC=0+ +
3P
1
 JPC=1+ +
3P
2
 JPC=2+ +
JPC= 0+–, 0– –, 1– + ,…..non possono essere fatti da quark e antiquark se i quark hanno spin 1/2
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CPT, C, P, T
L’invarianza delle leggi fisiche sotto la trasformazione combinata CPT è richiesta da
principi estremamente generali di teoria di campo relativistica
La conseguenza più importante è che masse e vite medie di particella e antiparticella
debbono essere identiche. I test sperimentali più semplici sono basati sulla ricerca di
eventuali differenze.
Negli anelli di accumulazione di p e p questi circolano per parecchie ore percorrendo l’anello
qualche miliardo di volte. Dall’uguaglianza delle traiettorie nei due casi si ricava il limite, diretto
mp  mp
mp
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 10 8
(90% c.l.)
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Parità del π–
Il processo è la cattura del π– dal deuterio π– d 2n avviene solo se P(π–) = –
Se si porta un fascio di π– di energia molto bassa in un criostato contenente deuterio liquido, se
l’energia è abbastanza bassa i π si fermano
Vengono catturati in un’orbita atomica di alti valori di n e l in un tempo brevissimo (4 ps);
altrettanto velocemente (1 ps) arrivano a n dell’ordine di 7
I π– che si trovano in un’onda S hanno funzione d’onda si sovrappone molto col nucleo e ne
vengono assorbiti subito. Se non sono inizialmente in un’onda S ci arrivano rapidamente.
Infatti l’atomo “mesico” è molto più piccolo degli atomi normali (mπ>>me) e penetra dentro le
molecole dove il campo E è intenso. L’effetto Stark mescola i livelli, ripopolando le onde S
 la teoria (Day, Sucher, Snow, ‘60) prevede che cattura avvenga quasi sempre da stati con l=0
È stato verificato sperimentalmente misurando i raggi X emessi nelle transizioni descritte
Spin del deuterio sd=1, spin del π sπ=0, l =0  momento angolare totale J=1
I due neutroni debbono stare in uno stato complessivamente anti-simmetrico: 1S0,3P0,1,2,1D2,…
Il solo stato con J=1 è 3P1 che ha parità P =(–1)l+J+1 =(–1)1+1+1= –
P(π–)P(d)=–
p e n nel d sono in onda S  P(d)= P(p) P(n)
P(π–)P(n) P(p)=–
P(p) = P(n)
P(π–)= –
la cattura avviene (Panofsky et al. 1951), P(π–) è negativa
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   e e 

    

Decadimento del pione (1/3)
 1.2  10 –4
Ma lo spazio delle fasi favorisce molto il decadimento in
elettrone. Perché il rapporto è così piccolo?
   e  p M  ,e

     p M
*
e
*
µ
2
2
 ,µ
Conservazione dell’energia nel CM
p  m  p  m
*2
l

2
l
*
l

m2 – ml2
p 
2m
*
l
pe* m2  me2 140 2  0.5 2
 2

 2.3
*
2
2
2
pµ m  mµ 140  106
Elemento di matrice?
Il grafico rappresenta il processo a livello dei quark. Teniamo conto del vertice a sinistra
includendo nell’elemento di matrice la “costante di decadimento del π”, fπ (da determinare
sperimentalmente)
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Decadimento del pione (2/3)
L’elemento di matrice deve essere scalare, pseudoscalare o una combinazione dei due dato che la
parità non è conservata. Lo stato iniziale è pseudosclare
L’eelemento di matrice può contenere a priori qualsiasi degli invarianti bilineari
l l
scalare
OK
l  5 l
pseudoscalare
OK
l   l
vettore
OK
l   5 l
vettore assiale
OK
tensore
NO
1
2 2


l  a      a l
Abbiamo degli scalari (le masse)  OK S e PS
Abbiamo un quadrivettore energia-momento totale  OK V e A
Non possiamo usate T
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Decadimento del pione (3/3)
pa  pa  pla
M  ..... f f lpa  a l  ..... f f l pa  pla  a l  .... f f l  a pa l  .... f f l  a pla l
Se la corrente debole è di tipo V
per l’equazione di Dirac


 p  m   0 
l  p  m  0 
a
a


l
 a pa l  0
l  a pla  lml
Conclusione: L’elemento di matrice è proporzionale alla massa del leptone carico
a
me2  1 
–4


0.5
10


m2  200 
2
Se la corrente debole è di tipo A

a
l
l
M  f ml
spiega l’ordine di grandezza del rapporto

M  ..... f f lpa  a  5 l  ..... f f l pa  pla  a  5 l  .... f f l  a pa  5 l  .... f f l  a  5 pla l

La conclusione vale sia per V sia per A, sia quindi per qualsiasi combinazione
Se corrente S o P non c’è proporzionalità a m2, quindi non vanno bene
Altri esperimenti  V–A
SF
Elemento di matrice
   e e   1 me2 / m2  me2  1 me2 / m2 
Calcolando con V–A

 1.3  10 –4
2
2
2 
2
2
    
 1 m / m  m  1 m / m 

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
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fπ= 130 MeV
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Numero barionico
Numero barionico (totale)
B  N barioni  N antibarioni
Conservato da tutte le interazioni note
 B p  e 0  5.4  10 33 a
Migliori limiti sperimentali da SuperK
 B p  K   2.2  10 33 a
Per confronto: età Universo = 1010 a
Tre quark in un barione  quark hanno B=1/3
I sapori dei quark sono conservati dalle IF, IEM, ma non dalle ID
N d  N d   N d ;
S  N s  N s   N s ;
N u  N u   N u 
C  N c  N c   N c 
B  N b  N b   N b ; T  N t  N t   N t 
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p  e+ π˚
Se il numero barionico non è conservato da
qualche interazione, il protone può decadere:
modi più probabili p  e+ π˚ e p  K+  
Masse sensibili necessarie > kt. Due tipi di rivelatori
traccianti: non hanno raggiunto la massa necessaria
Cerenkov: limiti dominati da SuperKamiokande,
Cerenkov a H2O con massa di fiducia = 22 kt
N nucleoni  M 10 3  N A  2.2 10 7 10 3  6 10 23 
 13.2 10 33
10/18 sono protoni
N protoni,osserv. 
10
13.2 10 33  7.4 10 33
18
Esposizione= 91.6 kt a   30 x1033 protoni x anno
 / B p  e 0  5.4  10 33 a
Efficienza  44%, circa il 50% delle volte il
pione interagisce con il nucleo
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19
p  K+  
Il K+ ha velocità sotto soglia Cerenkov in acqua
Il protone decadrebbe a riposo, cioè CM
p  m  p  mp
2
2
K
Energia di soglia del K

p
E
m 2p  mK2
2m p
938 2  494 2

 339 MeV
2  494
494 MeV
1 – 1 /1.33
2
 749 MeV
Ma il K decade Kµ  decade e il µ è sopra soglia
 / B p  K   2.2  10 33 a
“Fondo” = 1.3 eventi, efficienza ≈ 50%.
La tecnica permette di esplorare un altro ordine di grandezza
Ma serve un Cerenkov (o comunque un rivelatore) di 1 Mt
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I numeri leptonici
Numero leptonico (tot.) L = N(e– + e + – +   + – +   )–N(e+ +  e +  + +   +  + +  
)
Numero elettronico
L e = N(e– + e )–N(e+ +  e )
Numero muonico
L  = N(– +   )–N( + +   )
Nuemero tauonico
L  = N(– +   )–N( + +   )
Tutte le interazioni note, forte, elettromagnetica e debole conservano i numeri di “sapore”
leptonico e, a maggior ragione, il numero leptonico totale.
I test più sensibili dei numeri leptonici di sapore sono basati sulla ricerca di decadimenti proibiti
dalle leggi di conservazione
 µ   e 
 5  10 11
 tot



 µ  e  e e –
 tot
  1 10
12
Il MS assume la conservazione del numero leptonico totale e di quelli di sapore, ma
•Oscillazioni dei neutrini mu prodotti dai raggi cosmici nell’atmosferea
•Cambio di sapore dei neutrini elettronici nel sole
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21
Invarianza di carica, Spin isotopico o Isospin
Anni ‘30 studi  principio di invarianza della carica delle forze nucleari = due stati con lo stesso
JP che differiscano per un n sostituito da un p hanno la stessa energia
Nel 1930 Heisemberg propose il concetto di isospin: p e n sono due stati di una particella il
nucleone, che ha I=1/2 e due stati con Iz=+1/2 e Iz=–1/2 e (doppietto di isospin), in analogia ai
due stati di una particella di spin 1/2
 p   I z  1 / 2 
nucleone     
 n   I z  1 / 2 
Le masse di tutti i membri dello stesso multipletto devono essere uguali  mp=mn La piccola
differenza è una “rottura della simmetria” dovuta all’interazione EM
La rottura EM della simmetria di isospin è sempre dell’ordine di pochi MeV
Gruppo di simmetria: R(3) = SU(2). Multipletto = una rappresentazione del gruppo, contiene
tante particelle quanta è la sua dimensione, ciascuna con un valore della carica, e di Iz
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Multipletti di SU(2)
Singoletto; 1 oppure I=0
Doppietto; 2 oppure I=1/2
Tripleletto; 3 oppure I=1
Quartetto; 4 oppure I=3/2
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Classificazione di livelli nucleari
Quattro tripletti di livelli nucleari, con JP uguali e con masse (energie) quasi uguali
Il valore di Iz è definito a partire dalla carica Q (in unità di carica del protone) e dal numero
barionico B dalla relazione
B
Q  Iz 
2
Iz è funzione della carica, quindi l’indipendenza dalla carica delle forze nucleari (e la
conservazione di B) implica che Iz si conservi
L’interazione forte conserva I e Iz (analogia con momento angolare), è invariante rispetto a
rotazioni nello spazio isotopico. Sotto SU(2)
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Classificazione degli adroni (con u e d)
Q  Iz 
B
2
L’ipercarica (del sapore)
Y=B+S
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L’isospin e i processi dinamici
π–
p
I
1
I3
–1
I

π˚
n
1/2
1
1/2
1/2
0
–1/2
d
d
0
0
S0


L
I
1
0
I3
0
0
L0

4He
π˚
0
1

p
–
I
0
1/2
1
I3
0
1/2
–1
Q
0
+1
–1
B
1
1
0
Interazione forte conserva I e I3
Sperimentalmente la reazione non si osserva. Se
avvenisse, sarebbe di IF con violazione di I
s <10–2 rispetto ad atteso se I non fosse conservato
Interazione elettromagnetica: il fotone è legato alla carica e
quindi l’interazione può violare conservazione di I, al
massimo di ∆I=1
Ma conserva I3
Il  non è un adrone, non ha isospin
Interazione debole (anche se non appaiono leptoni)
non conservati né I né I3
si conserva carica e numero barionico
NB. C trasforma Q–Q e B–B, quindi dato che Q= B +Iz/2, anche Iz –Iz
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Somma di isospin
Due stati di isospin, ad esempio due nucleoni, si combinano a formare stati di isospin totale con
le stesse regole della composizione dei momenti angolari
Nel caso dell’esempio 2  2=3  1 cioè il prodotto di due doppietti è la somma di un
singoletto e di un tripletto
In generale, sottintendendo le somme
sugli indici ripetuti della completezza
I, I z ; I1 , I 2  I1 , I z1; I 2 , I z 2 I1 , I z1; I 2 , I z 2 I, I z ; I1 , I 2
coff. di Klebsh Gordan
p p
Esempio. Il sistema πp può avere I=1/2 o 3/2. Tutte le
ampiezze dei processi πp  πp (elastici e scambio carica,
sono combinazioni lineari di due ampiezze (complesse)
A1/2 e A3/2 . Corrispondono a 3 numri reali, perché la fase
complessiva non è osservabile
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  p   0n
p p
 n   n
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Diffusioni πp
  p  I, I z 
p 
s   p    p  K A3/2
3 3
,
2 2
1 3 1
2 1 1
, 
,
3 2 2
3 2 2
2 3 1
1 1 1
 0n 
, 
,
3 2 2
3 2 2
 n 
3 3
,
2 2
s   p   0 n  K

2
2
A3/2 
A1/2
3
3

1
2
s   p    p  K A3/2  A1/2
3
3
s   n    n  K A3/2

 
2
2
2
2





La previsione s  p   p  s  n   n è verificata sperimentalmente e fornisce |A3/2|
Le altre due sezioni d’urto dipendono da questa e da due altri parametri |A1/2| e arg(A3/2*A1/2),
cioè la fase relativa delle due ampiezze di isospin
A basse energie le sezioni d’urto presentano un grande risonanza (di Fermi), la ∆, che ha I=3/2
come si deduce dal fatto che l’ampiezza |A3/2| domina le sezioni d’urto. Si osserva infatti che
s   p    p : s   p    p : s   p   0 n  9 :1 : 2
Gli esperimenti danno a √s = 1.236 GeV 195:22:45 mb
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La parità G
C Þ   Þ
Il π˚ è autostato della coniugazione di carica
π+ e π– si scambiano
C    – ;
C    
Tutti autostati di C seguita da una rotazione di 180˚ attorno a Iy
 

0

1
x  i y
2

 z
 
C
`

1
x  i y
2
G  
G n  1 n
n
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
 

1
x  i y
2

0  z
 
e
iI y
`

1
x  i y
2



G  exp i I y C

1
 x  i y
2
  

  

 z   0

1
 x  i y
2
G è conservata dalle IF, non dalle IE e ID
è limitata a sistemi con B=S=0
Se I=1, come per pioni, stato con Iz=0, ha G=–C
Se I=0 ovviamente G=C
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Simmetria della funzione d’onda
1 1
 = 01
2 2
Due spin (isospin) 1/2 si combinano a fare spin (isospin) totale 0 oppure 1
1, 0 
1 1 1
,
2 2 2
1 1
1 1 1
, 
,
2 2
2 2 2
0, 0 
1 1 1
,
2 2 2
1 1
1 1 1 1 1
, 
,
,
2 2
2 2 2 2 2
Esempio d  pn
1 1
,
2 2
Tripletto S=1 Simmetrico
Singoletto S=0 Antisimmetrico
l  0  f spazio   simm
S  1   spin   simm
ne segue che (isospin) deve essere antisimmetrica  Id=0, il deuterio infatti è singoletto
11= 0 1 2 Due spin (isospin) 1 si combinano a fare spin (isospin) totale 0, 1 oppure 2
1
1, 1 1, 1 
6
1
1, 0 
1, 1 1, 1  0
2
1
0, 0 
1, 1 1, 1 
3
2, 0 
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2
1
1, 0 1, 0 
1, 1 1, 1
3
6
1
1, 0 1, 0 
1, 1 1, 1
2
1
1
1, 0 1, 0 
1, 1 1, 1
3
3
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S=2 Simmetrico
S=1 Antisimmetrico
S=0 Simmetrico
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