Visualizzazione delle funzioni
d’onda in fisica quantistica
COLORI e NUMERI COMPLESSI
VERSO LA VISUALIZZAZIONE AL COMPUTER DELLA
FUNZIONE D’ONDA
PROIEZIONE STEREOGRAFICA
CODICI dei COLORI: RGB
LUMINOSITA’
TINTA
(HUE) e SATURAZIONE
La SFERA dei COLORI
dalla SFERA al PIANO COMPLESSO
TINTA: fase
LUMINOSITA’: modulo
RAPPRESENTAZIONI
di FUNZIONI COMPLESSE: 1DIM
RAPPRESENTAZIONI
di FUNZIONI COMPLESSE: 2DIM
RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE:
2DIM ed EVOLUZIONE TEMPORALE
RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE:
L’ONDA PIANA
SERIE e TRASFORMATA di FOURIER:
IL SUONO DELLA FUNZIONE D’ONDA
Costruzione di una
“gaussiana”
Somma di parziali
Il codice dei colori
SINTESI di FOURIER:
BASE di ONDE PIANE COMPLESSE
 ix
 ix / 2
e e
cos(
f ( xx))e  e
2
ix
ix
SINTESI di UN PACCHETTO
GAUSSIANO COMPLESSO
SINTESI di UN PACCHETTO
GAUSSIANO REALE: I COEFFICIENTI
TRASLAZIONI e SERIE di FOURIER
spostamenti nello spazio x come sfasamenti nello spazio k
dalla SERIE all’INTEGRALE di FOURIER
TRASLAZIONI e TRASFORMATE di FOURIER
Tanto maggiore la traslazione, tanto più rapida l’oscillazione della fase
REGOLE di COMMUTAZIONE
Importanza dell’ORDINE dei fattori nelle operazioni che agiscono sugli
spazi x e k
FATTORI di SCALA:
INDETERMINAZIONE “CLASSICA”
MOTO di PARTICELLE LIBERE:
L’ONDA PIANA
parte reale e parte immaginaria!
MOTO di PARTICELLE LIBERE:
L’ONDA PIANA
L’onda con momento k è
del tipo
e
k2
ikx i t
2
soluzione dell’equazione

1 2
i

t
2 x 2
MOTO di PARTICELLE LIBERE:
L’ONDA PIANA
… la sovrapposizione
periodica [momenti alti
più rapidi]
Il movimento delle fasi …
SOVRAPPOSIZIONE di
ONDE PIANE VIAGGIANTI
Costruzione di qualunque soluzione
dell’equazione di Schroedinger in
termini di onde piane (di momento
diverso, dunque la sovrapposizione
evolve nel tempo). E’ la stessa
situazione già vista con le serie di
Fourier, ora con l’aggiunta della
parte variabile nel tempo!
PARTICELLA A RIPOSO GAUSSIANA
Concetto ambiguo di “a
riposo”: è la quantità di
moto con valore medio nullo
… di conseguenza il
pacchetto è destinato a
sparpagliarsi (pur
mantenendo la stessa
posizione media)
PARTICELLA GAUSSIANA
LIBERA in MOTO LENTO
Cose da osservare:
il movimento del centro del
pacchetto;
sparpagliamento del pacchetto;
accumulo di parti ad alto
momento nel fronte del
pacchetto
moto retrogrado di una piccola
porzione del pacchetto
non cambia la funzione della
trasformata: il momento è
costante

(k , t )   0 (k ) exp ik 2t / 2

PARTICELLA GAUSSIANA
LIBERA in MOTO RAPIDO
Cose da osservare:
c’è meno sparpagliamento che
nel caso precedente;
c’è ancora (meno) accumulo
nella zona a basso momento
PARTICELLA GAUSSIANA
LIBERA in DUE DIMENSIONI
CONDIZIONI al CONTORNO:
URTO CON PARETE
La collisione NON avviene
“esattamente” alla coordinata
della barriera, x=0 (Heisenberg!)
Si osservi l’inversione di moto
del pacchetto (inversione
dell’ordine dei colori – della
fase)
CONDIZIONI al CONTORNO:
URTO CON PARETE
Rappresentazione nello spazio dei
momenti
Si osservi l’inversione delle
velocità e l’indeterminazione di k
in prossimità della collisione
CONDIZIONI al CONTORNO:
PARTICELLA a RIPOSO
VICINA ad una PARETE
La parte del pacchetto più vicina
alla parete si disperde e viene
riflessa!
CONDIZIONI al CONTORNO:
PARTICELLA in una BUCA di ENERGIA
CONDIZIONI al CONTORNO:
PARTICELLA nella BUCA e STATI STAZIONARI
Stati stazionari con densità di
probabilità indipendente dal
tempo
autostati dell’operatore energia,
solo la fase varia periodicamente
nel tempo
PARTICELLA nella BUCA:
SOVRAPPOSIZIONE di STATI STAZIONARI
La sovrapposizione di due (o più)
stati stazionari porta ad
interferenze periodiche nel tempo
COMPORTAMENTI “MOLTO” QUANTISTICI
Il moto del pacchetto (gaussiano) è decomposto lungo le due
direzioni (orizzontale e verticale nel disegno). Come
La componente
Entrambe
conseguenza
le
orizzontale
componenti
del
restringimento
èsono
quella
soggette
delle
di unpareti
pacchetto
a degrado
il pacchetto
libero,
posizionale
tende
quella ed
ad
verticale
un
a riflessioni.
prevede
condizioni alle pareti
intrappolamento
posizionale.
di riflessione causate dalla dispersione in
quella direzione del pacchetto.
RIFLESSIONI su PARETI ONDULATE:
modello di interazione con un cristallo
dimensione delle ondulazioni
confrontabili
con
la lunghezza
minori
maggiore
della
della
lunghezza
lunghezza
d’onda
d’onda
della
particella:
il pacchetto
effetto
di
è
d’onda
della particella:
distruzione
quasi
focalizzazione
tutto riflesso
e dispersione
del pacchetto
subito,del
tranne
pacchetto
la
riflesso.
parte a più
gaussiano
alto momento che
viene intrappolata. Quando
“fugge” dalle ondulazioni
raggiunge il resto del pacchetto e
con esso interferisce
DIFFUSIONE di un PACCHETTO
da OSTACOLI DIVERSI
ostacolo
circolare,
dimensioni
confrontabili
con il
pacchetto
ostacolo
circolare,
dimensioni
confrontabili
con la
lunghezza
d’onda
ostacolo
quadrato,
dimensioni
confrontabili
con il
pacchetto
ostacolo
quadrato,
dimensioni
confrontabili
con la
lunghezza
d’onda
DIFFUSIONE di un PACCHETTO
da FENDITURE
fenditura singola
doppia fenditura (Young)
L’OSCILLATORE ARMONICO
L’OSCILLATORE ARMONICO
L’OSCILLATORE ARMONICO
La sovrapposizione di 2 (o più) stati
ha natura oscillatoria.
Si osservi lo sfasamento di ¼ di
periodo fra la rappresentazione
spaziale e quella dei momenti.
L’OSCILLATORE ARMONICO
i fasori, ovvero fasi
rotanti in funzione
del tempo (e
dell’energia): il caso
ancora
dell’oscillatore
armonico (Falstad).
I codici delle fasi
sono ancora di tipo
cromatico
L’OSCILLATORE ARMONICO
Si utilizza un pacchetto
gaussiano posizionato
inizialmente lontano
dall’origine delle coordinate.
Esso evolve nel tempo senza
degradarsi (come farebbe in
assenza di potenziale). Si parla
di stato coerente. Si osservi
anche la corrispondenza
classica nel moto del pacchetto
del momento (e le fasi/colori
all’origine ed ai punti di
inversione classica). Si può
infine calcolare che per uno
stato coerente il prodotto delle
incertezze su x e p è minimo.
ONDE E PARTICELLE
CONTRO GRADINI
quando l’energia è minore della
parete di potenziale si ha
comunque penetrazione; per
energie maggiori della parete si
ha riflessione (ed interferenza).
all’aumentare dell’altezza
del gradino di potenziale la
funzione d’onda è espulsa
dalla zona “proibita”
PACCHETTO GAUSSIANO
CONTRO un GRADINO
sovrapposizione di
onde piane, energie
(tutte) minori
maggiori
dell’altezza del
gradino.
notare la riflessione
anche in questo
penetrazione
in zona
caso!
proibita.
PACCHETTO GAUSSIANO
CONTRO un GRADINO (inclusi i momenti)
sovrapposizione di
onde piane, energie
(tutte) maggiori
dell’altezza del
gradino. buca di
gradino,
potenziale.
notare la riflessione
anche in
questo caso!
notare
l’accelerazione
e la riflessione.
PACCHETTO GAUSSIANO
CONTRO un GRADINO GRADUALE
E=0.6 V
E=1.2
risoluzione numerica
dell’equazione di
Schroedinger
PACCHETTO GAUSSIANO 2-DIM
CONTRO un GRADINO
energia media
confrontabile con
l’altezza della
barriera: il pacchetto
trasmesso è quasi
fermo.
PACCHETTO GAUSSIANO 2-DIM
CONTRO un GRADINO
passaggio in zona a
potenziale ridotto: il
pacchetto trasmesso è
accelerato.
ONDE e PARTICELLE CONTRO BARRIERE
barriera di altezza
variabile e
larghezza fissa.
Osservare le
interferenze e
l’andamento
esponenziale reale
della funzione
d’onda
PACCHETTO GAUSSIANO
CONTRO BARRIERA
Pacchetti costruiti come
sovrapposizioni di onde
piane. Si osservino le
riflessioni multiple
all’interno della barriera
di potenziale e
l’insorgenza dello stato
“metastabile” nello
spazio dei momenti
EFFETTO TUNNEL
Il pacchetto, per
l’andamento
esponenziale reale che
assume nella zona
“proibita”, è
comunque tale da
riproporsi come
sovrapposizione di
onde dopo la barriera
di potenziale
BARRIERE 2-DIMENSIONALI
L’energia media è molto
maggiore dell’altezza della
parete di potenziale
(<E>=4V). L’interazione
con la barriera può essere
scomposta secondo due
direzione: lungo quella
parallela alla barriera c’è
propagazione libera del
pacchetto.
BARRIERE 2-DIMENSIONALI
L’energia media è
minore dell’altezza
della parete di
potenziale. Si osserva
comunque ancora
attraversamento della
barriera.
BARRIERE 2-DIMENSIONALI
L’energia media è maggiore
dell’altezza della barriera
circolare di potenziale
(<E>=1.5V). Si osserva
una porzione del pacchetto
che “staziona” sulla
sommità della barriera
(stato intrappolato di tipo
“risonante”)
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
Un ago percorso da
corrente (elettroni) è molto
vicino alla superficie
irregolare del materiale da
studiare. Se la punta
dell’ago è sufficientemente
prossima a quella del
materiale si può avere
passaggio di corrente (di
particelle) per effetto tunnel,
ossia di attraversamento di
barriera.
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
L’eccessiva distanza fra la
punta dell’ago e la
superficie del materiale non
consente il passaggio di
corrente per effetto tunnel.
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
L’alternanza di irregolarità
sulla superficie del
campione porta a variazioni
della corrente per effetto
tunnel. Si mantiene questa
corrente costante variando
l’altezza (la posizione)
dell’ago-sonda sulla
superficie del campione,
ottenendone così la mappa
di “elevazione elettronica”
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
Un ago percorso da
corrente (elettroni) è molto
vicino alla superficie
irregolare del materiale da
studiare. Se la punta
dell’ago è sufficientemente
prossima a quella del
materiale si può avere
passaggio di corrente (di
particelle) per effetto tunnel,
ossia di attraversamento di
barriera.
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
Molecole di
ciclopentene (C5H8)
su una superficie
orientata di Argento
(111)
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
La microscopia STM
è in grado di
risolvere diverse
forme di molecole
con eguale o simile
comportamento
chimico.
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
Superficie orientata di
un cristallo di rame
(111) ed ondulazioni
delle funzioni d’onda
elettroniche in
prossimità delle
brusche variazioni di
“livello”
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
Difetti “puntiformi”
su una superficie
orientata (111) di
un cristallo di rame.
EFFETTO TUNNEL
e MICROSCOPIA ATOMICA
Posizionamento (a
freddo, 4K) di atomi
di ferro su una
superficie orientata
di un cristallo di
rame.