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E L E N A TA R A N T I N O 3 ° E
MARZO 2011
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1 . LE CONICHE ANALITICHE
Curve nel piano cartesiano
2 . LE CONICHE GEOMETRICHE
Coniche nel piano
Le Coniche analitiche…
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Le coniche possono essere costruite nel
modo seguente:
 sia data una retta l ed un punto F non
appartenente alla retta l. Ciascuna conica
può essere descritta come il luogo dei
punti P tali che il rapporto tra la distanza
di P da F con la distanza di P da l sia
costante.
 Ovvero detto il punto D di intersezione
tra la retta e la perpendicolare ad l
passante per il punto P si ha:

dove la costante e viene detta
eccentricità, F fuoco e l direttrice della
conica.
Primo caso: 0< e <1 Ellisse
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 Il luogo dei punti del
piano per i quali è
costante la somma delle
distanze da due punti fissi
chiamati fuochi;
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Applicazioni
delle coniche
alla Fisica
Premessa: Eudosso di
Cnido fu il primo
astronomo greco del 5°4°a.C. secolo a scoprire
che il moto dei pianeti
non era circolare.
Duemila anni dopo…
Keplero dimostrò nel
1609 che i pianeti
descrivevano un’orbita
intorno alla stella solare
di forma ellittica, di cui
uno dei fuochi era
proprio il Sole. (Leggi di
Keplero)
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Curiosità…
alcune nozioni
sull'ellisse
Keplero scoprì che,
ovunque fosse il pianeta
(P) nella sua orbita, si
poteva ottenere in ogni
momento la sua distanza
dal Sole (F) per mezzo
della seguente relazione:
Ora, questa è la relazione
per un punto di una
ellisse avente il Sole in
uno dei due fuochi. Il
valore e rappresenta
l'eccentricità dell'orbita
cioè il rapporto FO/OL.
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L’ellisse
rinascimentale
Ètienne Dupérac nel
1569 progettò questa
particolare piazza
ellittica decorata in
modo minuzioso.
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L’ellisse nell’arte
scultorea
Domenico Rambelli,
1925.
La scultura del viso è
perfettamente
contornata da una linea
ellittica.
Secondo caso: e=1 Parabola
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 la parabola è il luogo dei
punti del piano
equidistanti da un punto F
detto fuoco e da una retta
L detta direttrice della
parabola, ossia FP = PQ
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Moto
uniformemente
accelerato
Se assumiamo i tempi
come ascisse, e i
corrispondenti spazi
come ordinate, il moto
naturalmente accelerato
è rappresentato
graficamente da un ramo
di parabola avente il
vertice nell’origine degli
assi.
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Moto Parabolico
o di caduta
Il moto parabolico è un
tipo di moto esprimibile
attraverso la
combinazione di due
moti diversi:
Moto uniformemente
decellerato (verticale)
Moto rettilineo
uniforme (orizziontale)
La Gittata è lo spazio
percorso dall’oggetto
prima di toccare terra.
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La Quadratura
della parabola
Archimede nell'opera
Quadratura della parabola è
calcolata l'area di un
segmento di parabola, ossia
la figura delimitata da una
parabola e una linea
secante.
Trovò che valeva i 4/3
dell'area del massimo
triangolo in esso inscritto.
C
B
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La parabola
nella pittura
Modigliani dipinse
Donna con cravatta nera.
la figura della donna ha
la testa leggermente
inclinata a sinistra in
perfetta linea col viso il
quale ha come contorno ,
sicuramente, la forma di
una parabola.
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La parabola
nell’architettura
Il tetto di una deposito di
sale a Tortona, in
Piemonte.
Dalla sezione si nota
come la struttura
portante e la copertura
hanno come profilo una
parabola.
Terzo caso: e>1 Iperbole
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 Il luogo dei punti del
piano in cui è costante la
differenza delle distanze
dai fuochi.
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Nell’architettura:
città di Sabari
Possiamo osservare
come il complesso
architettonico si
sviluppa dai due rami di
iperbole a cui si
innestano due archi di
circonferenza, due
testate terminali della
piazza strutturate a
forma di teatro greco
all’aperto.
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L’iperbole nell’arte
In una delle 28 formelle
che Lorenzo Ghilberti
creò per il prtale al
battistero di Firenze,
notiamo che la
Maddalena e l’Angelo
annunciatore creano due
rami di un’iperbole…
Le coniche geometriche…
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 La superficie conica si
ottiene facendo ruotare
una retta r, detta
Generatrice, con un angolo
b, detto angolo del cono,
attorno ad un’altra retta g,
detta Asse del cono.
Caso generale
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 Le sezioni coniche, o
semplicemente coniche,
sono il risultato di un’
intersezione tra la
superficie conica e un
piano inclinato.
 A seconda dell’inclinazione
del piano rispetto all’asse
del cono avremo coniche
differenti.
Caso ellittico
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 L’apertura del cono è minore
dell’inclinazione del piano.
 Se il piano è perpendicolare
alla retta avremo una
circonferenza, un particolare
ellisse.
Caso parabolico
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 L’inclinazione del piano è
esattamente uguale
all’apertura del cono.
Caso iperbolico
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 L’apertura del cono è
maggiore dell’inclinazione del
piano.
Coniche degeneri
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 Il piano può anche
passare per V e creare
Coniche degeneri:
 Un punto
 Una retta
 Una coppia di rette
Un po’ di storia…
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 Le coniche furono scoperte e studiate per la prima volta da
Menecmo di Apeconesso, vissuto nel 4° secolo a.C.. Purtroppo
non ci è pervenuto nulla direttamente, ma solo testimonianze
da altri intellettuali greci come Platone.
 Due secoli dopo Menecmo, un’altro grande geometra greco
s’impadronì dell’argomento facendone uno dei campi più
sottili della geometria…
Apollonio di Perga
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 Apollonio di Perga, vissuto nel




3° secolo a.C., riprese le
ricerche che aveva condotto
Menecmo perfezionandole.
Scrisse tutto ciò che scoprì in
una vera e propria
enciclopedia: Le Coniche.
Si devono a lui i nomi delle
coniche:
Hyper = Troppo (iperbole)
Para = Uguale (parabola)
Ekléipein = lasciare (ellisse)
Le coniche di Apollonio
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L’opera è divisa in 8 libri:



Nei primi cinque libri il Geometra
studia le coniche, tratta e risolve
il problema di Pappo, trova le
tangenti e le normali alle coniche.
Nel settimo libro tratta diverse
questioni trascurate da coloro che
sono venuti prima di lui.
L’ottavo libro purtroppo è andato
perduto, ne conosciamo solo
alcuni cenni tramite
testimonianze.
Renato Cartesio
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 Cartesio e prima di lui
Fermat, nell’opera
Géométrie, dalla risoluzione
del problema di Pappo nella
sua generalità, derivò
l’equazione generica di una
conica passante per
l’origine, che rappresentava
il punto di vista più unitario
che fosse mai stato applicato
all’analisi delle sezioni
coniche.
Sitografia…
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 www.progettomatematica.dm.unibo.it
 www.electroyou.it
 www.liceartcs.it
 www.wikipedia.it