FONDAMENTI DELL’ ANALISI DEI SISTEMI
TRIFASI
• Rappresentazione grafica di un sistema
elettrico.
• Modelli matematici di primo livello del
sistema elettrico:
Bipolo
doppio bipolo ed n-bipolo
nodi
Rappresentazione grafica di
un sistema elettrico.
Bear Valley
Duck City
Mouse City
BEAR VALLEY
DUCK CITY
MOUSE CITY
B
DB
nB
B
nB
B
N
B
7
G
6
Duck City
T
1
G
3
2
L
T
L
Bear Valley
4
5
L
T
C
V1
C
I1
I2
V3
V2
Mouse City
I3
VARIABILI DI INTERESSE NEI SISTEMI ELETTRICI
V1
IPOTESI SUI MODELLI DI PRIMO LIVELLO
•
Legami lineari tra tensioni e correnti
•
Modelli validi per l’analisi del
funzionamento in regime sinusoidale
costante o del funzionamento in
condizioni dinamiche “lentamente
variabili”
MODELLO DEL BIPOLO ATTIVO
I1
I2
I3
B
V3
V2 V 1
 V1 
 E1 
Z11 Z12
 V  = E  + Z
Z 22
2
2
21
 
 

V3 
E 3 
Z 31 Z 32
Z13   I1 



Z 23  I 2
  
Z 33  I 3 
Vf = E f + Z f  If
I1
Z10
1
Zm12
0
Z20
Zm23
Z0n
I2
2
Zm31 I
3
Z30
3
V3
I1+ I2+ I3
V1
n
V2
V1 = Z10I1 + Z m12I 2 + Z m31I 3 + Z 0n I1 + I 2 + I 3 

V2 = Z m12I1 + Z 20I 2 + Z m23I 3 + Z 0n I1 + I 2 + I 3 
V3 = Z
m31I1 + Z m23I 2 + Z 30I 3 + Z 0n I1 + I 2 + I 3 

  Z10 + Z0n 
 V1 
 V  =  Z
+ Z0n 
 m12
 2
  Zm31 + Z0n 
 V3 
 Zm12 + Z0n   Zm31 + Z0n    I1 
 Z20 + Z0n   Zm23 + Z0n   I2 
 Zm23 + Z0n   Z30 + Z0n   I3 
If
Ef
Zf
Vf
MODELLO DEL n-BIPOLO
I1h
I1k
I2h
I2k
V1k
k
I
k
k
3
V 2 V3
I3h
V3h
V 1h
V2h
 V1   Z11
 f  f
    
    
 r    r1
 Vf   Z f
    
 n   n1
 Vf   Z f
 Z1s
f




 Zrs
f


ns
 Zf






  I1 
 Z1n
f   f

  

  Isf 
 
rn
 Zf    

  
  n
nn
 Z f  I f 
If(k)
If(i)
[zf]
Vf
(k)
Vf(i)
MODELLO DEL DOPPIO BIPOLO
(caso particolare del n-bipolo)
Ip1
Ia1
Ip2
Ia2
Ip3
Vp2
Vp1
Vp3
DB
Va
1
Va
2
Va3
Ia3
pp
 V1p   Z11
  p    pp
  V2   Z21
pp
  V3p   Z31
  a  =   ap
 V1    Z11
  V a    Zap
21
  2a     ap
  V3    Z31
pp
Z12
pp
Z22
pp
Z32
ap
12
ap
22
ap
32
Z
Z
Z
pp

Z13
pp 
Z23 
pp

Z33

ap
Z13 
ap 
Z23 

Zap
33 
pa
Z11
 pa
Z21
pa
Z31

aa
Z11
 aa
Z21
Zaa
 31
pa
Z12
pa
Z22
pa
Z32
aa
12
aa
22
aa
32
Z
Z
Z
pa
  I1p 
Z13
pa     p  
Z23   I 2 
pa   p 
 I3 
Z33
    
aa
a


Z13   I1  
aa     a  
Z23  I 2 
  a 
aa
Z33     I 3  
V f  Z
=
 a 
V
Z
 f 
p
pp
f
ap
f
Z  I 
  
Z  I 
pa
f
aa
f
p
f
a
f
If
If(a)
(p)
Vf
(p)
Z

Z
pp
f
ap
f
Z 

Z 
pa
f
aa
f
Vf(a)
Ia
Ip
Vp
Va
Descrizione mediante “impedenze a vuoto”
 Zpp
 Vp 
  = Z
 Va 
 ap
Zpa  Ip 
 
Z aa  Ia 
Descrizione mediante “ammettenze in
cortocircuito”
 Ypp
Ip 
  = Y
Ia 
 ap
Ypa   Vp 
 
Yaa   Va 
Descrizione mediante “costanti di
trasmissione”
 Vp 
 A B  Va 

  = 



 C D   Ia 
 Ip 
La matrice :
 A B
[a] = 

 C D
viene chiamata
“matrice di trasmissione”
IDENTIFICAZIONE DELLE COSTANTI DI
TRASMISSIONE
•
Prova a vuoto
•
Prova in corto circuito
PROVA A VUOTO
Ip0
Ia0= 0
A
Vp0
0
Vp
A =
Va0
C
B
D
Va0
0
Ip
C =
Va0
PROVA IN CORTO CIRCUITO
IpCC
Vp
IaCC
A
B
C
D
CC
cc
Vp
B =
cc
Ia
VaCC= 0
cc
Ip
D =
cc
Ia
Relazioni tra le costanti di trasmissione,
impedenze a vuoto e ammettenze in
cortocircuito
Zpp
Yaa
A=
= Zap
Yap
YaaYpp
1
C=
= Ypa Zap
Ypa
Zaa Zpp
1
B = Zpa =
Zap
Ypa
Ypp
Zaa
D= =
Zap
Ypa
RELAZIONE TRA LE COSTANTI DI TRASMISSIONE
Ypa
Z pa
 A B
det 
=  = AD - BC = Yap
Zap
 C D
Condizione di reciprocità
Se :
Ip
Va
Allora :
=
Vp=0
Ia
Vp
Va=0
Zap = Zpa e Yap = Ypa ;
AD - BC = -1
INVERSIONE DEL DOPPIO BIPOLO
 Vp 
 A B  Va 
 
  = 

 C D  Ia 
 Ip 
-1 V 
A B
p
Va
  = 
  I 
 Ia  C D  p 
ove:
A B


C D
-1
1  D -B -D B 

=
= 


det[a] -C A   C -A
SIMMETRIA DI UN DOPPIO BIPOLO
Un doppio bipolo si dice “simmetrico” se
coincide col suo inverso, ossia se:
 A B
 A B

 = 

 C D
 C D
-1
ossia se:
A=-D
 -D B 
= 

 C -A 
CONDIZIONI DI SIMMETRIA DI UN DOPPIO BIPOLO IN
TERMINI DI IMPEDENZE A VUOTO O DI
AMMETTENZE IN CORTO CIRCUITO
A=-D
Zaa = Zpp
Yaa = Ypp
RETI EQUIVALENTI A TRE POLI DI
UN DOPPIO BIPOLO ALMENO
SIMMETRICO O RECIPROCO
• Rete equivalente a “”
• Rete equivalente a “T”
RETE EQUIVALENTE A ““
p
a
Z*pa
Z*pp
Z*aa
0
RELAZIONI TRA COSTANTI DI TRASMISSIONE
E IMPEDENZE DELL’EQUIVALENTE A “

Z*aa + Z*pa
A =
Z*aa


B = - Z*pa

D = - Z*pp + Z*pa

Z*pp
”

 Z*pa = - B

B
 Z*aa =
1- A

B

 Z*pp = 1+ D
RETE EQUIVALENTE A “T“
p
a
Zp0
Za0
Z00
0
RELAZIONI TRA COSTANTI DI TRASMISSIONE
E IMPEDENZE DELL’EQUIVALENTE A “T”
Zp0 + Z 00

A =
Z
00


1
C =
Z 00


Z a0 + Z 00
D = Z 00

1

 Z 00 = C


-D - 1
 Z a0 =
C

A -1

 Zp0 = C
RIDUZIONE DI UN DOPPIO BIPOLO
Ip
Ia
A
Vp
Zp =
C
Vp
Ip
Ic
B
D
Va Vc
-AZ c + B
=
-CZ c + D
Zc
IMPEDENZA ITERATIVA DI UN DOPPIO BIPOLO
E’ l’impedenza che, collegata alla porta di arrivo
riduce il bipolo ad una impedenza dello stesso
valore.
CALCOLO DELL’IMPEDENZA ITERATIVA
-AZ it + B
Zit =
-CZ it + D
Zit =
-A + D 
A + D
2
2C
- 4BC
IMPEDENZA CARATTERISTICA
Nel caso di simmetria del doppio bipolo vale:
A+D=0
In tal caso l’impedenza iterativa si chiama:
“IMPEDENZA CARATTERISTICA”
e vale:
Zc =
-B
C
MODELLO DEL NODO
I1b
V1b
I2b
V1a
V2a
I1a
I2a
I3a
V3a
I3b
V2b
V3b
I1c
I2c
I3c
V 1c
V2c
V3c
 V1a 
 V1b 
 V1c 
 a
 b
 c
 V2  =  V2  =  V2 
 V3a 
 V3b 
 V3c 






I1a 
I1b 
I1c 
0
 a
 b
 c
0
I
+
I
+
I
=
 2
 2
 2


b
c
I a



I
I
0



3
3
3
 
 
 
Ib
Ia
Va
Vb
Ic
Vc
7
6
T
1
G
2
3
T
L
L
4
5
L
C
G
T
Vf
If
C