Introduzione alla analisi di serie
storiche
Le serie storiche sono dati ordinati che si riferiscono alla stessa
unità cross section per periodi di tempo diversi
 Consumo aggregato e GDP di un paese
 tassi di cambio Yen/$, pound/$ e Euro/$
 consumo per capita di un bene in uno stato
1
5.4
200
punew (destra)
l_punew (sinistra)
5.2
180
5
160
4.8
140
4.6
4.4
120
4.2
100
4
80
3.8
60
3.6
40
3.4
3.2
20
1960
1970
1980
1990
2000
2
Es #1
3
Es #2
4
Italy: Tasso di disoccupazione
14
12
10
8
6
4
2
0
5
Perchè le serie storiche sono
utili?
 A fini previsivi
 quale sarà il tasso di inflazione l’anno prossimo?
 stimare l’effetto causale dinamico
 se la FED aumenta il tasso di interesse oggi, quale sraà
l’effetto su tasso di inflazione e di disoccupazione fra 3
mesi? o in 12 mesi?
6
Novità
 Ritardi temporali
 Correlazione nel tempo (correlatione seriale,
autocorrelazione)
 I modelli previsivi sono modelli di regressione:
 autoregressivi (AR)
 potrebbero non avere una interpretazione causale
 Analizziamo le condizioni sotto cui gli effetti dinamici
possono essere stimati e come stimarli
7
 Previsione e Stima sono 2 fasi piuttosto diverse
 Per la previsione,
 R 2 è molto importante
 la bias dovuta a variabili - validità interna -omesse non è
un problema
 non c’è interesse nella interpretazione dei coefficienti
 la validità esterna del modello è estremamente importante
8
Introduzione alle s.s. e alla
correlazione seriale
Notazione per le serie storiche
 Yt = valore di Y al tempo t.
 Data set: Y1,…,YT = T osservazioni nel tempo di una v.c. Y
 Consideriamo solo osservazioni consecutive ad intervalli
sempre uguali
9
Trasformazioni più comuni

10
ES:
CPI = Consumer Price Index (Bureau of Labor Statistics)
 CPI nel primo trimestre del 2004 (2004:I) = 186.57
 CPI nel secondo trimestre del 2004 (2004:II) = 188.60
 Variazione in percentuale di CPI, da 2004:I a 2004:II
 188.60  186.57 
 2.03 
= 100  
 = 100  
 = 1.088%
186.57


 186.57 
 Variazione in percentuale di CPI, da 2004:I a 2004:II, a tasso
annuale = 41.088 = 4.359%  4.4% (percento per anno)
 usando un’approssimazione logaritmica 4100[log(188.60) –
log(186.57)] = 4.329%
11
Es: inflazione US CPI
12
Autocorrelazione
La correlazione di una serie (al tempo t) con un suo ritardo (al
tempo t-1/ t-2/ t-3,.. t-p) è chiamata autocorrelazione o
correlazione seriale.
 Autocorrelazione di ordine 1: corr(Yt,Yt–1)
 Autocovarianza di ordine 1: cov(Yt,Yt–1)
corr(Yt,Yt–1) =
cov(Yt , Yt 1 )
=1
var(Yt ) var(Yt 1 )
13

14
Autocorrelazione campionaria
La jma autocorrelazione campionaria è una stima della jma
autocorrelazione della popolazione
ĉovYtYt  j 
ˆ j = v̂arYt 
dove
T
1
ĉovYtYt  j  =
(Yt  Y j 1,T )(Yt  j  Y1,T  j )

T t  j 1
 dove Y j 1,T è la media campionaria di Yt calcolata per t =
j+1,…,T.
15
Es:
Autocorrelazione di:
(1) tasso di inflazione trimestrale U.S.
(2) variazione da trimestre a trimestre
16
 Il tasso di inflazione è fortemente autocorrelato (1 = .84)
 il trimestre passato dà molte informazioni sul trimestre attuale
 nel grafico ci sono molti movimenti altalenanti prevedibili
 ma ci sono anche molti movimenti non prevedibili
17
Altri es:
18
Altri es:
19
ln(GDP) Italy constant US $ 2005
GDP Italy US $ 2005
2E+12
28.5
1.8E+12
1.6E+12
28
1.4E+12
27.5
1.2E+12
1E+12
27
8E+11
6E+11
26.5
4E+11
2E+11
2011
2008
2005
2002
1999
1996
1993
1990
1987
1984
1981
1978
1975
1972
1969
1966
1963
1960
26
0
Differenza prima: GDP Italy US $ 2005
8E+10
6E+10
4E+10
2E+10
-2E+10
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
0
-4E+10
-6E+10
-8E+10
-1E+11
-1.2E+11
20
Funzione di autocorrelazione e
funzione di autocorrelazione
parziale

21
Stazionarietà
La stazionarietà e un concetto chiave per la validità esterna.
Una s.s. si dice stazionaria se la sua distribuzione di probabilità non
cambia nel tempo, cioè se la distribuzione condizionata di
( Yt+1, Yt+2, Yt+3, .., Yt+j) non dipende da j.
La condizione di stazionarietà richiede che le realizzazioni future
della serie siano come quelle passate per lo meno da un punto di
vista probabilistico.
Per ora assumiamo che Yt è stazionaria
22
Processi AR
Un punto di inizio naturale consiste in inziare a usare i valori
passati Y (Yt–1, Yt–2,…) per predire Yt.
 autoregressione AR è una regressione in cui Yt è regredito sui
suoi ritardi.
 il numero dei ritardi considerati si chiama ordine di
autoregressione.
 Nel primo ordine di autoregressione, Yt è regredito su Yt–1
 Nel pth ordine di autoregressione, Yt è regredito su
Yt–1,Yt–2,…,Yt–p.
23
AR(1)
Yt = 0 + 1Yt–1 + ut
 0 e 1 non hanno interpretazione causale
 se 1 = 0, Yt–1 non è utile a predire Yt
 può essere stimato con OLS
 Test di ipotesi di 1 = 0 vs 1  0 fornisce un test per
concludere se Yt–1 è utile o meno a predire Yt
24
Es: AR(1)
Stime 1962:I – 2004:IV:
̂Inf = 0.017 – 0.238Inft–1 R 2 = 0.06
(0.126) (0.096)
Il ritardo è utile a predire Inf?
 t = –.238/.096 = –2.47 > 1.96
 Rifiutiamo H0: 1 = 0 al 5%
 Anche se R 2 è basso
25
. gen dinf = inf[_n]-inf[_n-1];
. reg dinf L.dinf if tin(1962q1,2004q4), r;
Linear regression
L.dinf is the first lag of dinf
Number of obs
F( 1,
170)
Prob > F
R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
172
6.08
0.0146
0.0564
1.6639
-----------------------------------------------------------------------------|
Robust
dinf |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------dinf |
L1. | -.2380348
.0965034
-2.47
0.015
-.4285342
-.0475354
_cons |
.0171013
.1268831
0.13
0.893
-.2333681
.2675707
-----------------------------------------------------------------------------. dis "Adjusted Rsquared = " _result(8);
Adjusted Rsquared = .05082278
26
Previsioni: terminologia e notazione
 Valori stimati sono “all’interno del campione”
 Previsioni sono “fuori dal campione” – nel futuro
 Notazione:
 YT+1|T = previsione di YT+1 basata su YT,YT–1,…, usando i
coefficienti della popolazione
 YˆT 1|T = previsione (stima) di YT+1 basata su YT,YT–1 usando i
coefficienti stimati, che sono stimati usando i dati fino
all’osservazione T.
 per un AR(1):
 YT+1|T = 0 + 1YT + u
 Yˆ
= ˆ0 + ˆ1 YT,
T 1|T
27
Errori di previsione
L’errore di previsione di un periodo sono
errore = YT+1 – YˆT 1|T
 un residuo è “all’interno del campione”
 una errore di previsione è “fuori dal campione” – il valore
YT+1 non è usato nelle stime del coefficienti di regressione
28
Es:
Stime 1962:I – 2004:IV:
̂Inf = 0.017 – 0.238Inft–1 R 2 = 0.05
(0.126) (0.096)
Inf2004:III = 1.6
Inf2004:IV = 3.5
Inf2004:IV = 3.5 – 1.6 = 1.9
la previsione di Inf2005:I è:
̂Inf 2005:I|2004:IV = 0.017 – 0.2381.9 = -0.44  -0.4
Di conseguenza
Iˆnf 2005:I|2004:IV = Inf2004:IV + ̂Inf 2005:I|2004:IV = 3.5 – 0.4 = 3.1%
29
AR(p)
Yt = 0 + 1Yt–1 + 2Yt–2 + … + pYt–p + ut
 AR(p) usa p ritardi di Y come regressori
 AR(1) è un caso speciale p=1
 I coefficienti non hanno una interpretazione causale
 F-test per testare la significatività dei coefficienti oltre Yt–1
 t- o F-tests per determinare l’ordine dei ritardi p
 o meglio usando uno dei “criteri di informazione”
30
Example: AR(4) model of inflation
̂Inf = .02 – .26Inft–1 – .32Inft–2 + .16Inft–3 – .03Inft–4,
(.12) (.09)
(.08)
(.08)
(.09)
R 2 = 0.18
 F-statistica per i ritardi 2, 3, 4 è 6.91 (p-value < .001)
 R 2 è crescituo da .05 a .18 aggiungendo i ritardi 2, 3, 4
 i ritardi 2, 3, 4 assieme aiutano a predire il cambio di inflazione
oltre il primo ritardo
31
Es: AR(4) or AR(3)
. reg dinf L(1/4).dinf if tin(1962q1,2004q4), r;
Linear regression
Number of obs
F( 4,
167)
Prob > F
R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
172
7.93
0.0000
0.2038
1.5421
-----------------------------------------------------------------------------|
Robust
dinf |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------dinf |
L1. | -.2579205
.0925955
-2.79
0.006
-.4407291
-.0751119
L2. | -.3220302
.0805456
-4.00
0.000
-.481049
-.1630113
L3. |
.1576116
.0841023
1.87
0.063
-.0084292
.3236523
L4. | -.0302685
.0930452
-0.33
0.745
-.2139649
.1534278
_cons |
.0224294
.1176329
0.19
0.849
-.2098098
.2546685
-----------------------------------------------------------------------------NOTES
 L(1/4).dinf is A convenient way to say “use lags 1–4 of dinf as regressors”
 L1,…,L4 refer to the first, second,… 4th lags of dinf
32
Example: model of inflation –
STATA, ctd.
. dis "Adjusted Rsquared = " _result(8);
Adjusted Rsquared = .18474733
result(8) is the rbar-squared
of the most recently run regression
.
L2.dinf is the second lag of dinf, etc.
test L2.dinf L3.dinf L4.dinf;
( 1)
( 2)
( 3)
L2.dinf = 0.0
L3.dinf = 0.0
L4.dinf = 0.0
F(
3,
147) =
Prob > F =
6.71
0.0003
33
Perchè usiamo Inft e non Inft?
AR(1) Inf:
Inft = 0 + 1Inft–1 + ut
AR(2) Inf:
Inft = 0 + 1Inft + 2Inft–1 + vt
 Quando Yt è fortemente correlate serialmente, l’ OLS è bias
verso lo zero
 Nel caso in cui il coefficiente dell’AR(1) = 1, Yt non è
stazionario: gli errori ut si accumulano e Yt esplode.
 se Yt non è stazionario, la teoria della regressione usta fin qui
non ha più valore
 poichè , Inft è fortemente correlate serialmente in questo
esempio usiamo Inf
34
Incertezza delle previsioni
 dobbiamo costruire degli intervalli di previsione
 dobbiamo conoscere il grado di accuratezza delle previsioni
date le previsioni
YˆT 1|T = ˆ0 + ˆ1 YT + ˆ 2 XT
l’errore di previsione è
YT+1 – YˆT 1|T = uT+1 – [( ˆ0 – 0) + ( ˆ1 – 1)YT + ( ˆ 2 – 2)XT]
35
Criteri di selezione dei ritardi
Come scegliere il ritardo p in un AR(p)?
 bias delle variabili omesse è irrilevante
 possiamo proporre dei test sequenziali di t- or F-tests
 usare criteri di informazione che costituiscono un buon tradeoff fra bias ( p pochi) e varianza (p troppi): Bayes (BIC) and
Akaike (AIC)
36
The Bayes Information Criterion (BIC)
ln T
 SSR( p ) 
BIC(p) = ln 
  ( p  1)
T
 T 
 Primo termine: decresce in p
 Secondo termine: cresce in p
 Minimizzare BIC(p) è un giusto trade off fra bias e varianza
per determinare il valore ottimale di p
37
Akaike Information Criterion (AIC)
2
 SSR( p ) 
AIC(p) = ln 
  ( p  1)
T
 T 
ln T
 SSR( p ) 
BIC(p) = ln 
  ( p  1)
T
 T 
il secondo termine è più piccolo per AIC che per BIC (2 < lnT)
 AIC è desiderabile se ci sono indicazioni per includere
molti lag
38
Es: ritardi 0–6:
# Lags
0
1
2
3
4
5
6
BIC
1.095
1.067
0.955
0.957
0.986
1.016
1.046
AIC
1.076
1.030
0.900
0.884
0.895
0.906
0.918
R2
0.000
0.056
0.181
0.203
0.204
0.204
0.204
 BIC sceglie 2 ritardi, AIC sceglie 3.
2
 R tende sempre a scegliere il modello con più ritardi
39
Non Stazionarietà I: Trend
 Finora abbiamo assunto che i dati siano stazionari.
 In quanto segue discuteremo due dei più importanti
casi di dati non stazionari
 I trend (SW Section 14.6)
 I break strutturali (instabilità del modello) (SW
Section 14.7)
40
Temi di discussione circa i trend
nelle serie storiche:
1. Che cos’è un trend?
2. Quali problemi possono causare i trend?
3. Come si possono individuare i trend (test statistici)?
4. Come risolvere i problemi causati dalla presenza di
trend
41
1. Che cos’è un trend?
Un trend è un movimento di lungo periodo o una tendenza
di fondo nei dati
I trend non sono necessariamente linee diritte
Quali di queste serie ha un trend?
42
43
44
Che cosè un trend.
Le tre serie:
log Japan GDP chiaramente ha un trend di lungo periodo
– non una linea diritta, ma un trend decrescente– crescita
veloce negli anni ’60 e ‘70, più lenta durante gli anni ‘80,
stagnante dal 1990 al 2000.
L’inflazione è persistentemente alta per molti anni (anni
’70 e primi anni ‘80) e periodi in cui è persistentemente
bassa. Forse c’è un trend ma è difficile da stabilire.
NYSE daily changes non ha trend evidenti. Ci sono
periodi di alta variabilità ma non c’è nessun trend
45
Trend deterministici e stocastici
 Un trend è un movimento di lungo periodo o una
tendenza di fondo presente nei dati.
 Un trend deterministico è una funzione nota dei dati
(ad esempio yt = t, or yt = t2).
 Un trend stocastico è casuale e varia nel tempo
 Un esempio importante di un trend stocastico è il
random walk:
Yt = Yt–1 + ut
dove ut è serialmente non corrrelato
Se Yt è un random walk, allora il valore di Y domani è il
valore di Y oggi più un disturbo che non conosciamo.
46
Trend deterministici e stocastici
Due caratteristiche di un random walk:
(i) YT+h|T = YT
La migliore previsione del valore di Y nel futuro è il
valore di Y oggi
Il log stock prices è random walk
2
h

(ii) var(YT+h|T – YT) = u

La varianza dell’errore di previsione cresce
linearmente nel tempo. Più distante sarà la nostra
previsione più grande sarà l’incertezza della
previsione.
47
Trend deterministici e stocastici
Un random walk con drift è
Yt = 0 +Yt–1 + ut
dove ut è serialmente in correlato.
Il “drift” è 0: se 0  0, allora Yt è un random
walk intorno ad un’intercetta
Yt = 0 t +Yt–1 + ut
se 0  0, allora Yt è un random walk intorno
ad un trend
48
Trend deterministici e stocastici
Se Yt è un random walk allora Yt è stazionaria
e l’analisi di regressione dovrebbe essere
condotta usando Yt invece di Yt.
Quindi dobbiamo conoscere:
 La relazione tra il modello random walk e AR(1),
AR(2), AR(p) (“radici unitarie autoregressive”)
 Un test per individuare un random walk.
49
Trend stocastici e radici unitarie
autoregressive
Random walk (con drift):
Yt = 0 + Yt–1 + ut
AR(1):
Yt = 0 + 1Yt–1 + ut
Il random walk è un AR(1) con 1 = 1.
 1 = 1 è chiamata radice unitaria*.
Quando 1 = 1, il modello AR(1) diventa
Yt = 0 + ut
*La terminologia deriva dall’equazione: 1 – 1z = 0 . La “radice”
dell’equazione è z = 1/1, che è uguale ad uno se 1 = 1.
50
Radici unitarie nel modello AR(2)
AR(2):
Yt = 0 + 1Yt–1 + 2Yt–2 + ut
Modificando il modello si ha:
Yt = 0 + 1Yt–1 + 2Yt–2 + ut
= 0 + (1+2)Yt–1 – 2Yt–1 + 2Yt–2 + ut
= 0 + (1+2)Yt–1 – 2(Yt–1 – Yt–2) + ut
Sottraendo Yt–1 in entrambi i lati si ha:
Yt – Yt–1 = 0 + (1+2–1)Yt–1 – 2(Yt–1 – Yt–2) + ut
o
Yt = 0 + Yt–1 + 1Yt–1 + ut,
dove  = 1 + 2 – 1 e 1 = –2..
51
Radici unitarie nel modello AR(2)
Dunque il modello AR(2) può essere scritto come,
Yt = 0 + Yt–1 + 1Yt–1 + ut
dove  = 1 + 2 – 1 e 1 = –2.
Se 1 – 1z – 2z2 = 0 ha una radice unitaria, allora
1 + 2 = 1
Se c’è una radice unitaria allora  = 0 e il modello AR(2)
diventa,
Yt = 0 + 1Yt–1 + ut
Se un modello AR(2) ha una radice unitaria, allora
può essere scritto come un AR(1) nelle differenze
prime.
52
Radici unitarie nel modello AR(p)
AR(p):
Yt = 0 + 1Yt–1 + 2Yt–2 + … + pYt–p + ut
Questa regressione può essere scritta come
Yt = 0 + Yt–1 + 1Yt–1 + 2Yt–2 + … + p–1Yt–p+1 + ut
dove
 = 1 + 2 + … + p – 1
1 = –(2 +… + p)
2 = –(3 +… + p)
…
p–1 = –p
53
Radici unitarie nel modello AR(p)
Il modello AR(p) può essere scritto come,
Yt = 0 + Yt–1 + 1Yt–1 + 2Yt–2 + … + p–1Yt–p+1 + ut
dove
 = 1 + 2 + … + p – 1.
Se c’è una radice unitaria nel modello AR(p), allora  = 0
e il modello AR(p) diventa un AR(p–1) nelle differenze
prime:
Yt = 0 + 1Yt–1 + 2Yt–2 + … + p–1Yt–p+1 + ut
54
2. Quali problemi sono causati dai
trend?
Ci sono tre problemi causati dai trend stocastici:
1. I coefficienti del modello AR possono essere non
corretti e vicini allo zero. Questo significa che se
stimiamo un AR e facciamo previsioni, se c’è una
radice unitaria le previsioni avranno valori basse. (I
coefficienti del modello AR sono distorti verso lo
zero)
2. Alcune t-statistiche non hanno una distribuzione
normale standard anche in grandi campioni
3. Se Y e X son entrambe random walk allora possono
sembrare legati da un legame – “regressioni spurie”
Ecco un esempio…
55
Log Japan gdp (linea meno variabile) e
inflazione in US 1965-1981
lgdpjs
infs
4
2
0
-2
1965q1
1970q1
1975q1
time
1980q1
1985q1
56
Log Japan gdp (linea meno variabile) e
inflazione in US, 1982-1999
lgdpjs
infs
4
2
0
-2
-4
1980q1
1985q1
1990q1
time
1995q1
2000q1
57
3. Come individuare i trend?
1. Fare il plot dei dati (ad esempio le tre serie che abbiamo
analizzato).
2. Il test Dickey-Fuller serve per riconoscere la presenza di
radici unitarie.
Il test Dickey-Fuller test in un AR(1)
Yt = 0 + 1Yt–1 + ut
o
Yt = 0 + Yt–1 + ut
H0:  = 0 (cioè, 1 = 1) contro H1:  < 0
(NB: questo test è ad una coda:  < 0 significa che Yt
stazionario)
è
58
Test DF in modelli AR(1)
Yt = 0 + Yt–1 + ut
H0:  = 0 (cioè 1 = 1) contro H1:  < 0
Test: calcola la t-statistica testando  = 0
Sotto H0, questa t statistica non ha una distribuzione
normale!!
Bisogna confrontare la t-statistica con la tabella dei
valori critici di Dickey-Fuller. Si presentano due casi:
(a)
Yt = 0 + Yt–1 + ut
(solo intercetta)
(b)
Yt = 0 + t + Yt–1 + ut
(intercetta e trend)
I due casi hanno differenti valori critici!
59
Tabella dei valori critici del DF
(a)
Yt = 0 + Yt–1 + ut
(b)
Yt = 0 + t + Yt–1 + ut (intercetta e trend)
(solo intercetta)
Rigetta l’ipotesi nulla se la t-statistica DF (la t-statistica che
testa  = 0) è più piccolo del valore critico specificato.
Questo è un test ad una coda con l’ipotesi nulla di una radice
unitaria (random walk) contro l’ipotesi alternativa che il
modello è stazionario.
60
Il test Dickey-Fuller in un modello
AR(p)
In un modello AR(p), il test DF è basato sul modello
Yt = 0 + Yt–1 + 1Yt–1 + 2Yt–2 + … + p–1Yt–p+1 + ut
(*)
dove  = 1 + 2 + … + p – 1. Se c’è una radice unitaria
(random walk trend),  = 0; se il modello AR è stazionario, 
< 1.
Il test DF in un AR(p) (solo intercetta):
1. stima (*), ottieni la t-statistica testando  = 0
2. Rigetta l’ipotesi nulla di radice unitaria se la t-statistica è
inferiore al valore critico DF riportato in Tabella 14.5
Modifica in presenza di trend: si incluse t come regressore in
(*)
61
Quando includere un trend nel test
DF?
La decisione di usare il test DF con l’intercetta o
l’intercetta e il trend dipende da qual’è l’alternativa e
come si presentano i dati.
 Nella specificazione con l’intercetta, l’ipotesi
alternativa è che Y è stazionaria intorno ad una
costante
 Nella specificazione con intercetta & trend,
l’ipotesi alternativa è che Y è stazionaria intorno
ad un trend lineare.
62
Esempio: l’inflazione U.S. ha una
radice unitaria?
L’ipotesi alternativa è che l’inflazione è stazionaria intorno ad
una costante
63
Esempio: l’inflazione U.S. ha una radice
unitaria?
DF test for a unit root in U.S. inflation – using p = 4 lags
. reg dinf L.inf L(1/4).dinf if tin(1962q1,2004q4);
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model | 118.197526
5 23.6395052
Residual | 380.599255
166
2.2927666
-------------+-----------------------------Total | 498.796781
171 2.91694024
Number of obs
F( 5,
166)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
=
172
10.31
0.0000
0.2370
0.2140
1.5142
-----------------------------------------------------------------------------dinf |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------inf |
L1. | -.1134149
.0422339
-2.69
0.008
-.1967998
-.03003
dinf |
L1. | -.1864226
.0805141
-2.32
0.022
-.3453864
-.0274589
L2. |
-.256388
.0814624
-3.15
0.002
-.417224
-.0955519
L3. |
.199051
.0793508
2.51
0.013
.0423842
.3557178
L4. |
.0099822
.0779921
0.13
0.898
-.144002
.1639665
_cons |
.5068071
.214178
2.37
0.019
.0839431
.929671
------------------------------------------------------------------------------
DF t-statstic = –2.69
Don’t compare this to –1.645 – use the Dickey-Fuller table!
64
La statistica DF = –2.69 (solo intercetta):
= –2.69 rigetta una radice unitaria al livello del 10% ma non al 5%
 Qualche evidenza di radice unitaria.
 Che cosa significa che l’inflazione ha una radice unitaria?
 Consideriamo che l’inflazione abbia una radice unitaria.
Note: Si può scegliere la lunghezza temporale in una regressione DF
attraverso BIC or AIC
65
4. Come individuare e risolvere i
problemi causati dai trend.
Se Yt ha una radice unitaria (è un random walk), il modo
più semplice per evitare problemi è di modellare Yt nelle
differenze prime.
Nel caso di un AR, questo significa specificare il
modello AR usando le differenze prime di Yt (Yt)
Questo è ciò che noi abbiamo fatto nel trattamento
iniziale dell’inflazione, noi abbiamo stimato il
modello AR usando Inft
66
Sommario: individuare i trend
stocastici
1. Per determinare se Yt ha un trend stocastico, prima
bisogna fare il plot della serie Yt, poi se sembra plausibile
la presenza di un trend, calcola il test DF test (è
importante decidere quale versione, intercetta o
intercetta+trend)
2. Se con il test DF non si rigetta, concludiamo che Yt ha una
radice unitaria (random walk con trend stocastico)
3. Se Yt ha una radice unitaria, si usa Yt per l’analisi di
regressione e previsione
67
Non stazionarietà II: Breaks e
Stabilità del modello (SW Section 14.7)
Il secondo tipo di non stazionarietà che noi
consideriamo riguarda il caso in cui i coefficienti del
modello non sono costanti nell’intero campione.
Chiaramente questo comporta problemi di previsione
Test per break, e pseudo analisi di previsione out-ofsample
Esempio: la curva di Phillips su dati americani
68
Tests per break (cambiamento) nei
coefficienti di regressione
Caso I: La data del break è nota
Supponiamo che che sia noto che il break sia accaduto alla
data . La stabilità dei coefficienti può essere testata. In the
ADL(1,1) case:
Yt = 0 + 1Yt–1 + 1Xt–1 + 0Dt() + 1[Dt()Yt–1] +
2[Dt()Xt–1] + ut
dove Dt() = 1 se t  , e = 0 altrimenti.
 Se 0 = 1 = 2 = 0, allora i coefficienti sono costanti nel
tempo.
 Se almeno uno di 0, 1, o 2 sono diversi da zero, la
funzione di regressione cambia alla data .
69
Yt = 0 + 1Yt–1 + 1Xt–1
+ 0Dt() + 1[Dt()Yt–1] + 2[Dt()Xt–1] + ut
dove Dt() = 1 se t  , e = 0 altrimenti
si può utilizzare il Chow test per un break alla data  è la statistica
F che testa:
H0: 0 = 1 = 2 = 0
contro
H1: almeno uno di 0, 1, o 2 sono diversi da zero
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