Flessione retta elastica
travi rettilinee (o a debole curvatura)
Trave a mensola
a
b
L
P
Azioni interne
Convenzioni di segno
T
T
x
N
N
T
-P
T(x) = -P
M
M(x)=P(L-x)
PL
.
M
M
Flessione retta elastica
Tensioni nella sezione
y
 xy
x
-
asse neutro
z
+
baricentro
Deformazioni del concio infinitesimo
du=Ndx/(EA)
dx
dx
N
dx
dv= Tdx/(GA)
M
d =Mdx/(EI)
T
Flessione retta elastica
Le ipotesi alla base dell’espressione
d 
Mdx
EI
sono le seguenti:
-inflessione della barra piccola
-conservazione della planarità delle sezioni
-elasticità
dx
 xdx
d
M
y
x
d  xdx/ y
Dalle due condizioni di equilibrio della sezione:
N    x dA  0
A
M    x ydA
A
e dalla
 x  E x
si ricava
 ydA  0
A
cioè l’asse neutro è baricentrico
M  E
A
d 2
y dA
dx
e quindi
d 
Mdx
EI
Flessione retta di travi a forte curvatura
Aspetti caratteristici
Flessione di travi a forte curvatura
• I risultati principali della teoria della flessione elastica delle travi
a forte curvatura sono:
• L’asse neutro non è baricentrico ma spostato verso il centro di
curvatura. L’espressione per trovarne la posizione è:
Ro 
•
A
dA
A r
dove Ro = raggio dell’asse neutro dal centro di curvatura, A = area della sezione, r = raggio
generico dell’areola dA
• La distribuzione delle tensioni normali σθ non è più lineare ed è
data dall’espressione
 
•
M y
yGA r
dove M = momento flettente, y = distanza dall’asse neutro, yG =distanza dell’asse neutro
dall’asse baricentrico, r = raggio generico.
Flessione di travi a forte curvatura
Concio elementare
dl
y
d
dl
+
RG
r
Ro
.
yG
Ri
d
O
Re
M
Flessione di travi a forte curvatura
Deformazioni
Lunghezza della fibra infinitesima prima della deformazione:
dl  rd
Variazione di tale lunghezza per effetto di M:
dl    rd
In funzione della rotazione dα della sezione:
yd    rd
Quindi:
y d
 
r d
Flessione di travi a forte curvatura
Ulteriori relazioni
Dall’ipotesi di elasticità):
Dall’equilibrio alla traslazione:
   E   E
y d
r d
0     dA   E
A
Quindi, poiché y=r-Ro, si ottiene Ro 
A
A
dA
A r
y d
r d
y 2 d
Dall’equilibrio alla rotazione: M     ydA   E
r d
A
A
Dopo una serie di passaggi:
Ancora:
  E
y d M y

r d yG A r
d
M

d EyG A
Flessione di travi a forte curvatura
Rotazione della sezione e traslazione circonferenziale del baricentro
Rotazione della sezione:
d 
Md
EyG A
Traslazione del baricentro:
Md
du M  y G d 
EA
Travi a forte curvatura
Azione assiale
Corrisponde a una distribuzione di tensioni uniforme
 N 
N
A
y
produce una distribuzione di deformazioni
  rd / rd 

d
d
duN
N
RG
per cui si ha:
r
variazione angolare
d 
Nd
EA
spostamento circonferenziale del baricentro
du N 
NRG d
EA
Ro
d
d
Flessione di barre a sezione composita
n 
y
E1
G1 
asse neutro

G2 
E2
..
y1
y2
1
2
1 E1 A1   2 E2 A2
E1 A1  E2 A2
I i  I Gi  Ai yi2
n
MEy

 Ei I i
Mdx
d 
 Ei I i
Taglio in sezioni composite
b
G3 
E3
 y3
G 2y
2
G2
y
asse neutro
E2
G 1
y2
y1
E1
 ( y) 
T  EjS j
b Ei I i

T ( E3 A3 y3  E2 A2 y2
b( E1 I1  E2 I 2  E3 I 3 )
Flessione, taglio e azione normale nel piano
•
Parliamo di strutture piane
caricate nel loro piano, quando,
con riferimento alla figura, le forze
agiscono sul piano x,y e le azioni y
interne corrispondenti sono:
x
Ty
– Azione normale N
– Taglio Ty
– Momento flettente Mz
N
Mz
Flessione, taglio e azione normale nel piano
Carico distribuito su struttura circolare
R
q
x

d 
y
R sin(  )


0
0
dN  qR sin(   )d
dTy  qR cos(   )d
dM z  qR2 sin(   )d
qRd
N   dN    qR sin(   )d  qR(1  cos )


0
0
Ty   dTy   qR cos(   )d  qR sin 


0
0
M z   dM z    qR 2 sin(   )d  qR 2 (1  cos )
Flessione, taglio e torsione fuori dal piano
•
Nel caso di strutture caricate fuori dal
loro piano sono presenti le azioni
interne:
– Taglio Tz
– Momento flettente My
– Momento torcente Mx
x
y
Mx
My
T
z
Flessione, taglio e torsione fuori dal piano
carico distribuito su struttura circolare
Forza distribuita q normale al piano della struttura
+
+
q
+
R
+
dTz  qRd
dM y  qR2 sin(   )d
+
R1 cos(  )
y
x

+
+
R sin(  )
d 
dM x  qR2 1 cos(   )d
+
+

Tz   dTz  qR
0


M y   dM y    qR 2 sin(    )d  qR 2 (1  cos  )
0
0


0
0
M x   dM x   qR 2 [1  cos(   )]d  qR 2 (  sin  )
Flessione, taglio e azione normale nel piano
Effetto del
carico distribuito sulla struttura circolare
R sin(  )
B
qRd
q
C
x
AB)
dN  qR sin(    )d
dTy  qR cos(   )d

dM z  qR 2 sin(    )d
A


0
0
N   dN   qR sin(    )d  qR(1  cos  )


0
0
Ty   dTy   qR cos(   )d  qR sin 


0
0
M z   dM z    qR 2 sin(    )d  qR 2 (1  cos  )
Flessione, taglio e azione normale nel piano
Effetto del tratto curvo sul tratto rettilineo BC)
y
qRd
B

q
x


R
A

2
N    dN  qR
0

2
Ty   dT y  qR
0

2
M z   dM z  qR ( R  x)
0

C
dN  qR cosd
dTy  qR sin d
dM z  qR( R cos  x sin  )