CALCOLO COMBINATORIO
Principio fondamentale del calcolo
combinatorio
Se un evento E1 si può presentare in
n1 modi e un secondo evento E2 si
può manifestare in n2 modi, allora
l’evento composto E1  E2 si può
presentare in n1  n2 modi.
1
CALCOLO COMBINATORIO
ORDINE/
RIPETIZIONE
ORDINE
si
ORDINE
no
RIPETIZIONE
No
DISPOSIZIONI
SEMPLICI
COMBINAZIONI
SEMPLICI
RIPETIZIONE
si
DISPOSIZIONI
CON
RIPETIZIONI
COMBINAZIONI
CON
RIPETIZIONI
2
CALCOLO COMBINATORIO
1
2
…
k-1
k
n
n–1
…
n – (k – 2)
n – (k – 1)
Dn, k  n  (n  1)  ...  (n  k  1)
3
CALCOLO COMBINATORIO
• Si consideri una gara di Formula 1 alla quale
partecipano 22 concorrenti. Calcolare il numero totale
dei possibili podi (primo, secondo e terzo classificato).
1°
2°
3°
22
21
20
D22,3  22  21  20  9240
4
CALCOLO COMBINATORIO
• Le permutazioni semplici (k=n)
Dn, n  n  (n  1)  ...  1
Pn  n!
• Si noti che:
0!  1
n!  n  ( n  1)!
5
CALCOLO COMBINATORIO
• Le permutazioni circolari
Rn  Pn 1  (n  1)!
6
CALCOLO COMBINATORIO
• Le disposizioni con ripetizione
1
a
2
a
n
n
r
Dn, k
n
k-esima
…
n
k
7
CALCOLO COMBINATORIO
• Determinare il numero delle colonne del
totocalcio che possono essere giocate.
r
D3,13
 3  1.594.323
13
8
CALCOLO COMBINATORIO
• Le permutazioni con ripetizione
k1  k2  ...  kr  k
k1, k2 ,..., kr  1
r
Pk1 , k 2 ,...,k r
k!

k1!k 2!...  k r !
9
CALCOLO COMBINATORIO
• Calcolare quante colonne del totocalcio possono essere formate
imponendo che sei caselle siano occupate dal simbolo 1, sei caselle
dal simbolo 2 e una casella dal simbolo X .
13!
 12012
6!6!1!
10
CALCOLO COMBINATORIO
•
•
•
•
•
•
•
Le combinazioni semplici
a,b,c
a,b,d
b,c,d
a,c,b
a,d,b
b,d,c
b,a,c
b,a,d
c,b,d
b,c,a
b,d,a
c,d,b
c,a,b
d,a,b
d,b,c
c,b,a
d,b,a
d,c,b
• 24:6=4
c,d,a
c,a,d
d,c,a
d,a,c
a,c,d
a,d,c
11
Cn , k
CALCOLO COMBINATORIO
Numero combinazioni=Disposizioni:Permutazioni
Cn , k 
Cn , k
Dn , k
Pk
n  ( n  1)  ...  ( n  ( k  1))

k!
n
n  (n  1)  ...  (n  (k  1))  (n  k )  (n  (k  1))  ...  1
n!


  
k!(n  k )  (n  (k  1))  ...  1
k!(n  k )!  k 
12
\
90  89  88  87  86
C90,5 
 43.949.268
5!
13
CALCOLO COMBINATORIO
• Proprietà
• 1)
n  n 
   

k  n  k 
• 2)
 n   n  1  n  1
   
  

 k   k  1  k 
14
CALCOLO COMBINATORIO
• Lo sviluppo della potenza n-esima del binomio (a + b)
n 1
k n
nk k
(a  b)  Cn,0  a b  Cn,1  a b  ...  Cn,n  a b   Cn,k  a b
n
n 0
0 n
k 0
k n  n 
(a  b)      a n  k b k
k 0  k 
n
15
CALCOLO COMBINATORIO
• Es.1
• Calcolare il coefficiente di
•
k=6 quindi il coefficiente è
a 4b6
nello sviluppo di ( a  b) .
10 
   210
6
10
che è anche il coefficiente
• di a 6b 4 , per la proprietà 1) del coefficiente binomiale.
• Es.2
a 4b6 nello sviluppo di
• Calcolare il coefficiente di
• ancora k=6, ma il grado del monomio non è 12 e quindi …
.
16
CALCOLO COMBINATORIO
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