2U
Id
V1
Vr
+ ir
Vs
+ is
Vt
+ it
V3
rs
rt
st
sr
tr
ts
vd (t)
V5
0
T t
T/6
- 2U
V6
V4
V1
V6
V2
V1
V2
Id
V3
V2
V3
V4
V5
V4
V5
V6
ir (t)
T
0
t
T/6
6
Vd 
T

T /6
/6
T /12
6
3
v
(
t
)
dt

2
U
cos(

t
)
dt

 d

 2 U cos(t )dt 
T

0
 T /12
 /6
3
3
2 U (sin  / 6  sin  / 6) 
2U


T
If 
1 2
i f (t )dt 
T 0
2
T
T /3
2
 i f (t )dt 
0
2 2
Id 
3
2
Id
3

2U
Id
V1
Vr
+ ir
Vs
+ is
Vt
+ it
V3
rs
rt
st
sr
tr
ts
V5
0


t
6
- 2U
V4
V6
V2
I
0
6
Vd 
T

T /6
V1
V1
V3
V3
V5
V5
V6
V2
V2
V4
V4
V6

ir (t)

T /12   / 
6
v
(
t
)
dt

2 U cos(t )dt 
0 d
T T /12 / 
3
 

 
  3 2 U cos 
2 U sin    sin     

 6



 6

t
Id
dis
di
 t
dt
dt
di
di
di
di
v  vt
v s  Lc s  vt  Lc t  vt  Lc s  Lc s  s
dt
dt
dt
dt
2
is  it   I d 
rs
rt
rr
s

t=t*
t
+
Vr
i r =Id
is
Vs
+
-Lc di s
dt
it
Vt
+
di 
v  vt

vd  v r   v s  Lc s   v r  s
dt 
2

v  vt v rs  v rt
v
v
 r  r  s

2 2
2
2
*
vd
i s   ( I d  it )
di
v st  2U sin (t  t 0 )  2 L s
dt
2U
 is (t ) 
cos(t  t0 ),C t  t *
2L
it  ( I d  is )
[A]
[V]
400
300
-is (IV6 )
-it (IV2 )
200
100
0
V*st /40
-100
Vst /20
-200
35
40
45
50
55
Created using UNREGISTERED Top Draw 3.10 May 2,'97 2:48:48 PM
t [ms] 60
Id
V1
Lc
Vr
+
Vs
+
is
Vt
+
it
V3
V5
ir
 u
Vrs
Vst
A
V6
V4
V2
 t 0  t*
 u
A


2U

2
v  vrt
vrt  rs
dt 
2
 u
Vd 
 sin tdt 

Vrt
 u


 u
vrt  v rs
v
dt   st dt 
2
2

2
U cos   cos(  u )
2
A
A
3 U
cos   cos(  u)


T /6  /3  2
t
300
200
200
150
Vd
100
100
Vrt
Vrs
0
-100
Vrs
Vrt
50
Vst
0
Vd
is
Vst
-50
u
-200
is
-100
-300
u
-150
15
20
(file comm.adf; x-var t) Vrs
Vst
Vrt
25
Is
30
[ms]
300
200
35
22.5
23.5
(file comm.adf; x-var t) Vrs
Vst
24.5 [ms]
Vrt Is
25.5
200
Vd
Vrs
150
Vst
Vrt
100
100
Vrt
50
0
-200
0
is
-100
-50
 u
-300
0.0975
0.1025
(file comm.adf; x-var t) Vrs
Vrs
Vst
Vst
-100
0.1075
Vrt Is
0.1125
[s]
is
u
-150
0.1175
0.1045
0.1055
(file comm.adf; x-var t) Vrs Vst
[s]
Vrt Is
0.1065
Legame tra , u e Id
dall’espressione di is(t)
 is (t ) 
2U
cos(t  t0 ),C t  t *
2L
si possono scegliere le costanti in modo da ottenere:
2U
cos (t  t0 )  cos (t * t0 ) I d
2L
all’inizio della commutazione cioè per t  t0    deve essere i s (t )   I d da cui:
 is ( t ) 
t   t0   
per ~
t  t 0  (u  ) /  , cioè al termine della commutazione, si ha:
2U
cos(u  )  cos   I d
0  is (~
t)
2L
e quindi (posto X=L):
Id 
U
cos   cos(  u)
2X
Vd / I d 
3 U 2X 3
 X  cos tan te  Rx
 2 U

3
 Xc
Vd
caduta dovuta
alle valvole
V'd 0
Vd0
+
caduta dovuta
ad R x
Vd0 cos 
~
' 
Vd0
  cdt delle valvole  Vd0
Id
Vd 0 
rx 
3
X
 RDCn
3

2U
U n2
3 xZ ACn 3 Pn U n2
3



x

x

0
.
5
x  0.5 x
2
2
 RDCn  Vd 0 Pn
3
3

2U n 



Funzionam. da
raddrizzatore

Vd
-Vi
Vo cos 1
Vo cos 2
Vo cos 3

Funzionam.
da invertitore
u 


u
Vo cos 4
-Vo cos 2
-Vo cos 1
 crescenti
I
d
 crescenti
Id

V1
Lc
Vr
+
Vs
+
is
Vt
+
it
V3
V5
2U
ir
0
V6
V4
V2
- 2U


u
300
200
u 

Vrs
150
Vrs
100
Vrt
Vst
Vrt
u
Vrt


50
100
0
0
-50
is
-100
-100
-200
Vd
-300
0.300
0.305
(file comm2.adf; x-var t) Vrs

Vst
-150
u 
0.310
Vrt Is
0.315
Vl
[s]
Vst
is
Vd
-200
0.320 0.3115
0.3125
(file comm2.adf; x-var t) Vrs Vst
Vrs
[s]
Vrt
0.3135
Is Vl
Vst
3 X

Id
Vd  Vd 0 cos 
+
Vd
Vd0 cos 
3

 Vd  Vd 0 cos  
Id
3 X

+
V d0 cos 
Id
X I d  Vd 0 cos  
Vi
3

X Id
3X

Vd0 cos
+
-V d
Vi  Vd 0 cos  
3

X Id
3

X Id


Id 

u
U
cos   cos(  u)
2X
u

Vd 
=-
=-(+u)
- 3
X

2U cos 
3

XI d 
3 U
cos  cos(  u) 

 2
V
V
 d 0 cos  cos(  u )   d 0 (cos   cos  )
2
2

Id
-Vd
V d0 cos 
+
 Vd 
3
2U cos 
Vd 0
V
(cos   cos  )  Vd 0 cos   d 0 (cos   cos  )
2
2
U
cos  cos(  u) 
2X
 Vd 0


(cos   cos  ) 
3X 2
3X
Id 
Id
Vi
3
- 3
 X
Vd0 cos 
Vd 0

(cos


cos

)
 2

+
Vi  Vd  Vd 0 cos  
3

XI d
-2Rx
V d0 cos 
+
Rx
Id
V d0 cos 
3X
R x= 
Vi
LS
LS
Raddrizzatore
Inverter
Filtro
DC
Sistema
AC
Filtro AC
Linea
DC
Filtro
DC
Sistema
AC
Filtro AC
Funzionam. da
raddrizzatore

Vd
-Vi
Vo cos 1
Vo cos 2
Vo cos 3

Funzionam.
da invertitore
u 


u
Vo cos 4
-Vo cos 2
-Vo cos 1
 crescenti
I
d
 crescenti
Rr
Vor cos
Rl+sL l
2
sLs
I dr
Vdr
Rl+sL l
2
1
sLs
I di
Vdi
sC l
Ri
Voi cos i
Circuito elettrico equivalente di un collegamento HVDC con inverter funzionante ad  costante
Rr
Vor cos
Rl+sL l
2
sLs
Vdr
I dr
Rl+sL l
2
1
sC l
sLs
I di
Vdi
-R i
Voi cos
Circuito elettrico equivalente di un collegamento HVDC con inverter funzionante a  costante
Vd
Vo cos min
-Vi
mincostante
funzionamento ad  costante e pari al valore minimo min,
funzionamento a  costante e pari al valore minimo min,
funzionamento a corrente costante Id, agendo sull’angolo .
d costante
I
d

mincostante
-Vo cos min
funzionamento a tensione costante,
funzionamento ad angolo di accensione a massimo,
funzionamento in controllo di corrente con limite dipendente dalla
tensione sul collegamento (VDCOL Voltage Dependent Current
Order Limiter) ecc
Vd
Punto di lavoro
mincostante

mincostante
d -I) costante
d costante
I
d
Raddrizzatore
Inverter
Modello alle variazioni supponendo costante la forza elettromotrice lato inverter sia ad
 costante che  costante
A
R1
sL1
I d
Vor cos
sL2
R2
1
sC
B
Y s  
1

R1  R 2
1

2 z
1
s  2 s2
nz
nz
1  sT 1 

Con parametri
tipici e L1=L2

2 p
1
s  2 s2 
np
np 
1



nz

CL2


 z  1 R 2 C

2
L2

2 p L1  L 2 CR1 R 2


T 

R

R
R1  R 2
np
1
2

 2 p
CR 1 L 2  R 2 L1 
1
T 2 

R1  R 2
np
 np
 T
CL1 L 2
 2 
 np R 1  R 2

1
nz 
CL

  1 R C
 z 2 2 L segno dipendente da R2: positivo a  costante

T  2 L
segno dipendente da R1+R2

R1  R 2
  2 
nz
 np

1
C
R 1  R 2  segno dipendente da R1+R2


p

4 2 L

I ref
1
In

C(s)
cos

180
-sin o
Vor
Vcos
or
Y(s)
I
Normalizzando e supponendo Vor costante
ys  
1

r1  r2
1

2 z
1
s  2 s2
nz
nz
1  sT 1 

i ref

2 p
1
s  2 s2 
np
np 
C(s)

 y o  y1 s 

y sin oo
180 o
yo 
1
r1  r2
segno dipendente da R1+R2
y1(s)
i
La funzione di trasferimento y1(s) presenta due zeri complessi coniugati z1 e z2, due poli complessi coniugati
p1 e p2 ed un polo reale p3 in -1/T. Nel funzionamento dell’inverter a  costante solitamente R2<0 in quanto la
resistenza equivalente della commutazione dell’inverter Ri ha valore maggiore della Rl/2 di metà del
collegamento. Pertanto i due zeri sono a parte reale positiva risultando z<0. Il segno di p invece dipende
dalla somma R1+R2 che diviene negativa al diminuire della potenza di corto circuito della rete AC lato
inverter ovvero quando Ri>Rr+Rl. Il polo reale in -1/T cambia anch’esso segno diventando positivo quando
R1+R2 diviene negativo, così come il valore statico yo di y(s).
Inverter a  costante
Poli e zeri funzione y(s)
Poli e zeri sistema con controllo I
Im



Ki
K
1 
i




Cs   K p 
 Kp 1
 K p 1 


s
 sTi 
 sK p 
p
Im
p
1
Im
p
1
1
z1
z1
zc
p
p
3
z1
zc
c
p
p
c
3
Re
Re
z2
z2
p
3
Re
p
p
2
2
p
1
Im
Im
p
1
z2
z1
p
2
Il sistema in ciclo aperto senza
controllo di corrente è stabile solo
se R1+R2>0 ovvero Pcc lato
inv>Pccmin
zc
p
zc
p
3
c
p
2
z1
p
p
c
3
Re
Re
z2
z2
p
2
Inverter a  costante
poli e zeri a p.r. negativa
luogo delle radici nel semipiano a
p.r. neg.
stabilità incondizionata
Inverter a  costante
stabilità condizionata da Pcc
sulla rete lato inverter
Root Locus
200
150
150
100
100
50
50
Imaginary Axis
Imaginary Axis
Root Locus
200
0
0
-50
-50
-100
-100
-150
-150
-200
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
-200
-250
-200
-150
-100
-50
0
Sistema GRITA
Linea CC 400kV
Equivalente rete
greca 400kV
Stazione
400kV
Stazione
400kV
Filtri DC
Filtri AC
2x90+9Mvar
Filtri AC
2x90+9Mvar
Compensatore
sincrono