LOGICA
La logica è lo studio del ragionamento.
La logica matematica è lo studio dei
ragionamenti utilizzati dai matematici e
si occupa dei linguaggi formali,
introducendo regole che garantiscono
la correttezza dei ragionamenti.
Nei linguaggi si distinguono :
LA SINTASSI
LA SEMANTICA
ENUNCIATI O
PROPOSSIZIONI
INSIEME DELLE
REGOLE CON
LE QUALI
COLLEGARE
PAROLE O
SIMBOLI PER
OTTENERE
FRASI
CORRETTE
INSIME DEI
SIGNIFICATI DA
ATTRIBUIRE
ALLE PAROLE E
ALLE FRASI
ESPRESSIONI
LINGUISTICHE
DALLE QUALI
SI PUO
STABILIRE SE
UNA COSA È
VERA O FALSA
LOGICA BIVALENTE O
BINARIA
PRENDE IN
CONSIDEREAZION
E UNA
PROPOSIZIONE
CHE PUÒ ESSERE
VERA O FALSA:
NON SONO
POSSIBILI ALTRI
CASI
ENUNCIATI
ENUNCIATI
ELEMENTARI
COIMPLICAZIONE
DI DUE ENUNCIATI
ENUNCIATI
COMPOSTI
IMPLICAZIONE DI
DUE ENUNCIATI
NEGAZIONE DI UN
ENUNCIATO
DISGIUNZIONE DI
DUE ENUNCIATI
CONGIUNZIONE DI
DUE ENUNCIATI
►
ENUNCIATI ELEMENTARI
Sono costituiti da un predicato e da uno o più
nomi detti argomenti.
Es. 5 è maggiore di 4
oppure in forma simbolica 5>4
p: il numero 3,2 (argomento) è un numero razionale (predicato)
q: 5 (argomento) è maggiore (predicato) di 4 (argomento)
☼
ENUNCIATI COMPOSTI
Due o più enunciati semplici sono uniti da
connettivi che sono:
…. e …. ()
….o….()
se ….allora….()
….se e solo se….()
☼
NEGAZIONE DI UN ENUNCIATO
Si indica con p e si legge “non p” oppure
“p negato” è l’enunciato che è falso se p
è vero ed è vero se p è falso.
La doppia negazione si indica con p
p
V
F
p
F
V
p
V
F
ESEMPI DI NEGAZIONE E
DOPPIA NEGAZIONE
p: 5 è un numero pari
FALSO
p : 5 non è un numero pari
VERO
p: 5 è minore di 10
VERO
p: 5 non è minore di 10
FALSO
p: non è vero che 5 non è minore di 10
VERO
☼
CONGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI
Si definisce
congiunzione di 2
enunciati p e q e si
indica con pq
l’enunciato che è vero
se p e q sono
contemporaneamente
veri,mentre è falso in
ogni altro caso.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
F
F
☺
DISGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI
Si definisce
disgiunzione di 2
enunciati p o q e si
indica con pp
l’enunciato che è vero
se almeno uno dei 2
enunciati è vero, ed è
falso se entrambi gli
enunciati sono falsi.
La scrittura “p o q”
oppure “p vel q”.
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
☺
ESEMPI DI CONGIUNZIONE E
DISGIUNZIONE
a:12 è divisibile per 3
b:12 è divisibile per 2
ab: 12 è divisibile per 3 e per 2
VERO
p:3 è maggiore di 7
q:3 è divisibile per 2
pq 3 è maggiore di 7 o è divisibile per 2
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
☼
IMPLICAZIONE DI 2 ENUNCIATI
Si definisce
implicazione di 2
enunciati p e q e si
indica con pq e si
legge “se p allora q”,
l’enunciato che è
falso nel caso in cui p
sia vero e q falso ed è
vero in tutti gli altri
casi.
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
☻
COMPLICAZIONE DI DUE
ENUNCIATI
Si definisce
p
q
pq
complicazione di due
enunciati p e q e si
indica con pq e si
legge “p se e solo se
q” l’enunciato che è
vero nel caso in cui i
due enunciati siano
entrambi veri o
entrabi falsi ed è falso
negli altri casi.
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
☻
ESEMPI DI IMPLICAZIONE E
COMPLICAZIONE
p:12 è divisibile per 4
q:12 è un numero pari
pq: se 12 è divisibile allora è un numero pari
p:8 è un numero primo
q:8 è divisibile per 5
pq 8 è un numero primo se e solo se è
d divisibile per 5
VERO
VERO
VERO
FALSO
FALSO
VERO
☼
TAUTOLOGIE
Una tautologia è una formula enunciativa
vera qualunque sia il il valore di verità
degli enunciati elementari che la
compongono.
Le tautologie sono dette anche leggi della
logica.
CONTRADDIZIONE
Una contraddizione è una formula che
risulta falsa qualunque sia il valore di
verità degli enunciati elementari che
la compongono.
pp
(legge dell’identità)
LOGICA DEI PREDICATI
Un espressione linguistica che dipende da
una o più variabili,appartenenti ciascuna a
un prefissato dominio, si dice predicato o
anche enunciato aperto.
Es.: “x è un numero primo” con x  N (dominio)
QUANTIFICATORI
Il simbolo  si chiama quantificatore universale
e si legge per ogni o per tutti.
Sia p(x) un predicato e sia D il dominio della sua variabile.
L’espressione  x (p(x)) si legge “ per ogni x è vero p(x)” o anche
“per tutti gli x del dominio, è vero p(x)” oppure “per qualsiasi x
appartenete a D è vero p(x)”
Il simbolo  si chiama quantificatore esistenziale
e si legge esiste o esiste almeno uno.
Se p(x) è un predicato e D è il dominio della sua variabile
l’espressione  x(p(x)) si legge “esiste almeno un x per cui è vero
p(x)” oppure “esiste almeno un x dell’insieme D tale che è vero p(x)”
ESEMPI DI QUANTIFICATORI
Esempio:  x (x>5) xN “esiste almeno un
numero naturale maggiore di 5” VERO.
Esempio:  n (2n +1 è pari) nN FALSO perché
n è un numero naturale, 2n è pari, quindi, 2n+1
è sempre dispari.
Esempio:  x (x2≥0) xQ “per ogni x razionale,
x2≥0” VERO.
Esempio:  x (x2>1) xQ FALSO perché
afferma che qualsiasi numero razionale al
quadrato è maggiore di uno.
CONDIZIONI NECESSARIA E
SUFFICIENTE
Condizione sufficiente:
Consideriamo due predicati:
s(x): x è un multiplo di 6
xN
p(x): x è pari
Tutti i valori di xN che rendono vero s(x)
rendono vero anche p(x). Dunque se è
vero s(x) allora è vero anche p(x).
 x(s(x)→p(x))
CONDIZIONI NECESSARIA E
SUFFICIENTE
Condizione necessaria:
Consideriamo due predicati:
s(x): x è un multiplo di 6
xN
p(x): x è pari
Essere pari, per un numero naturale, non è
sufficiente per essere divisibile per 6. possiamo
affermare che essere pari è necessario per
essere multiplo di 6.
p(x)s(x)
Questa presentazione
è stata realizzata
da:
Menini Samuele
&
Soliani Mirco