UNIVERSITÀ DI PISA
Facoltà di Ingegneria — Corso di Laurea in
Ingegneria Civile, dell’Ambiente e del Territorio
Geometria — Scritto del 2/7/10 — Quesiti
Nome
Cognome
µ
¶
23 −84
2
1. Esibire una base di R che diagonalizza
.
6
−22
µ
2
2. Esibire un vettore di C unitario, ortogonale a
Matricola
2−i
1+i
¶
e con prima componente reale negativa.
3. Determinare i punti all’infinito in P2 (R) dell’insieme {(sin t, 2t, 1 − t) : t ∈ R} ⊂ R3 .
4. Stabilire per quali k ∈ R la conica di equazione x2 + 4xy + ky 2 − 2x + 2y + 2 = 0 è un’ellisse.
5. Determinare il tipo affine della quadrica di equazione 3y 2 + 10z 2 + 2xy + 6xz − 4yz − 2x + 2y = 0.
Geom
Geom
6. Stabilire se
f (x, y) = (1 − y)3 (1 + x)2 − 3 cos(x + y) − 2x + 3y
abbia un massimo o un minimo locale nel punto (0, 0).
y
2
7. Posto
ω = (y 3 + cos x) dx
R + (e − kxy ) dy
stabilire per quali k ∈ R si ha ω = 0 per ogni curva chiusa α in R2 .
α
GAII
8. Se f : C10 → C4 è lineare, non nulla e non surgettiva, ed è data una base di Ker(f ), quanti vettori
bisogna aggiungere per ottenere una base di C10 ?

GAII
2
 1
9. Calcolare det
2
−1

1 −3 0
0 2 1 
.
1 −1 0 
0 2 1
Le risposte devono essere sinteticamente giustificate
Deve essere esibito il libretto o un documento. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Questo foglio deve essere intestato
immediatamente con nome, cognome e matricola. Questo foglio va consegnato alla fine della prima ora. Durante la prima ora non è
concesso alzarsi né chiedere chiarimenti. Durante la prima ora sul tavolo è consentito avere solo i fogli forniti e la cancelleria.
1. ♠ 2. ♥ 3. ♠ 4. ♣ 5. ♥ 6. ♠ 7. ♣ 8. ♥ 9. ♣ 10. ♦
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Geometria — Scritto del 2/7/10 — Esercizı̂




2
0
1. In R3 considerare i vettori v1 =  3  e v2 =  −3 .
−1
5
(A) (2 punti) Ortonormalizzare (v1 , v2 ) a una base (w1 , w2 ) di V = Span(v1 , v2 ).
(B) (2 punti) Determinare la matrice A che rappresenta la proiezione ortogonale di R3 su V , verificando che A · A = tA = A.
(C) (2 punti) Completare (w1 , w2 ) a una base ortonormale M = (w1 , w2 , w3 ) di R3 con det(M ) < 0.
(D) (2 punti) Calcolare M −1 .
(E) (2 punti) Provare che M non è diagonalizzabile su R.
 √

π
(F) (2 punti) Verificare che M −1 ·  0
0
0
0
−17
0  · M è simmetrica e calcolarne traccia e
0
1000
determinante.
Geom
2. Considerare la curva α(t) = (t3 , 1 − 2t2 , 3t − t3 ) con t ∈ R.
(A) (1 punto) Provare che α è semplice.
R
(B) (3 punti) Detta β la restrizione di α a [0, 1] calcolare (z − 53x).
β
R
(C) (3 punti) Detta γ la restrizione di α a [−1, 1] calcolare (y dx + z dy + x dz).
γ
(D) (2 punti) Sapendo che σ : R → R è tale che δ(s) = α(σ(s)) è in parametro d’arco e σ(0) = 1,
calcolare σ 0 (0).
(E) (3 punti) Calcolare curvatura e torsione di α nel punto t = 1.
GAII
3. Considerare X = {x ∈ R4 : 2x1 + 5x3 = 4x2 + 3x4 }.
(A) (1 punto) Verificare che B = (2e1 + e2 , 5e2 + 4e3 , −e1 + e3 + e4 ) è una base di X.
(B) (3 punti) Provare che ponendo f (2e1 + e2 ) = −e1 + e3 + e4 , f (e1 + e2 + e3 + e4 ) = 5e2 + 4e3 e
f (5e2 + 4e3 ) = 2e1 + e2 resta definita un’unica applicazione lineare f : X → X.
(C) (2 punti) Provare che l’applicazione f è invertibile.
(D) (4 punti) Determinare la matrice A = [f ]BB .
(E) (2 punti) Calcolare A−1 .
Deve essere esibito il libretto o un documento. I telefoni devono essere mantenuti spenti. Sul tavolo è consentito avere solo i
fogli forniti e la cancelleria. Dall’inizio della seconda ora si può usare anche un foglio manoscritto contenente enunciati e formule.
Si può uscire solo in casi eccezionali. Ogni foglio consegnato deve recare nome e numero di matricola. La soluzione di ogni
esercizio deve essere consecutiva su un solo foglio. La minuta non va consegnata. Per risolvere un punto di un esercizio è sempre
lecito utilizzare gli enunciati dei punti precedenti, anche se non si è riusciti a risolverli.
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Risposte esatte
5. ♥
µ
1.
4
1
¶ µ ¶
7
,
µ
2.
√1
14
2
−2
1 + 3i
¶
3. [0 : 2 : −1]
4. 4 < k < 13
5. Iperboloide a due falde
6. Un minimo locale: il gradiente si annulla e gli autovalori dell’hessiana sono positivi
7. k = −3
8. Tra 7 e 9
9. −4
1. ♠ 2. ♥ 3. ♠ 4. ♣ 5. ♥ 6. ♠ 7. ♣ 8. ♥ 9. ♣ 10. ♦