* 021
DOSSIER //
[PUNTO DI VISTA // ELISA ARMARI / 3B ISTITUTO STATALE D’ARTE DI MONZA]
OLTRE LA SIEPE...
Liliana Curcio
* 022
[PER VEDERE AL DI LA’ DELLA SIEPE... LA PROSPETTIVA]
“Quelli che s’innamorano della pratica senza la scienza, sono come quei nocchieri che
entrano in naviglio senza timone e senza bussola, che mai hanno certezza di dove si
vadano. Sempre la pratica deve essere edificata sopra la buona teorica, della quale la
prospettiva è guida e porta, e senza questa nulla si fa bene”
Leonardo da Vinci “Trattato della Pittura”
Quando si parla di prospettiva si pensa – quasi automaticamente – al Rinascimento Italiano e alla città di [URBINO]. In questa città, infatti, era presente il duca
Federico da Montefeltro, un mecenate che amava avere alla sua corte artisti e
scienziati tra i migliori esistenti all’epoca e questo costituiva un terreno di notevole fecondità per ogni forma di conoscenza e di scambio culturale.
Che cosa si intende per prospettiva? Per dirla in termini semplici ma efficaci (il termine deriva dal latino perspicĕre ovvero guardare innanzi): è una proiezione allo
scopo di rappresentare su un piano forme e oggetti della realtà, che è ovviamente
tridimensionale, in modo che la rappresentazione sia simile alla visione che di loro
si ha effettivamente nel mondo reale.
Il risultato non è la copia della cosa vista e basta, perché il piano è piano mentre
l’occhio è curvo e le linee, se si disegnano perfettamente rette, non riproducono
un effetto reale. In alcune opere, infatti, si può osservare una leggera curvatura
delle linee rette per avere una simulazione più attinente alla realtà.
La ricerca di tecniche geometriche e matematiche, per introdurre la spaziali-
tà nella rappresentazione della realtà nei disegni
e nei quadri, è l’oggetto di studio di tutti gli artisti
del Quattrocento. Ci sono, però, evidenti riferimenti a una rappresentazione tridimensionale anche
in periodi precedenti. In alcune opere di Giotto, ad
esempio, è ovvia l’attenzione dell’artista alla spazialità della scena. Dal punto di vista teorico, la visione
veniva descritta con caratteri geometrici già da molti
secoli. Basti pensare agli scritti di Euclide, in particolare all’Ottica. Ma anche i giochi d’ombra, dei quali
parla Platone nel mito della caverna sembrano evocare un linguaggio per gli occhi che tutti quelli che
osservano devono imparare a leggere, se vogliono
comprendere il mondo che li circonda. Il salto qualitativo, che permette il passaggio dalla scienza della
visione alla scienza della rappresentazione, avviene
solo durante il Rinascimento italiano, con lo sforzo
di collegare la razionalità con l’intuizione. Non è un
caso che la prospettiva e la sua storia parlino, al tempo stesso, il linguaggio della storia delle scienze esatte ed applicate e della storia delle belle arti.
In questa pagina: Palazzo
[URBINO]
Un paio di anni fa è nato il Centro Internazionale di
Studi “Urbino e la Prospettiva” le cui attività possono
essere seguite sul sito
http://urbinoelaprospettiva.uniurb.it/
Ducale / Studiolo del Duca
Federico / particolare (a sinistra); Piero della Francesca /
Annunciazione / particolare
(a destra).
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[ARTISTI E MATEMATICI]
Nel XV secolo si riconosce che lo strumento matematico è essenziale per l’arte, la tecnica e l’elaborazione
di un’immagine scientifica del mondo. È impossibile
concepire queste attività come totalmente separate
e la Matematica è elemento essenziale di una simile
nuova visione del mondo.
Una testimonianza di questa unità della cultura è
fornita da [LEON BATTISTA ALBERTI]. Il suo interesse per la Geometria, strettamente combinata con la
progettazione, gli permette di realizzare armoniose
costruzioni architettoniche. Una testimonianza, invece, della collaborazione tra l’artista e il matematico è
presente nella figura di [PIERO DELLA FRANCESCA]:
il monarca della pittura, come lo definisce lo stesso
Luca Pacioli! La sua opera più nota, Flagellazione,
conservata nel Palazzo Ducale di Urbino, è un connubio misterioso di Matematica e pittura e – ancora
oggi – continuo oggetto di studi e ricerche.
Leon Battista Alberti e Piero della Francesca rappresentano, insieme a Leonardo da Vinci, la poliedricità
e l’eclettismo dello studioso, del ricercatore e dell’artista di quel periodo. Tutti e tre sono considerati
i pionieri della prospettiva, anche se il primo a utilizzarla fu Filippo Brunelleschi.
Il campo di indagine – come è già stato detto – non
è uno solo. La passione verso l’arte è immensa tanto
quanto quella per la Matematica e le scienze. È per
questo che la produzione letteraria di questi personaggi spazia dalla pittura alla Matematica, con la più
innata disinvoltura.
È un connubio che troviamo ancora in Federico Commandino (1509 - 1575) e nel suo allievo Guidobaldo
del Monte (1545 - 1607). Dopo gli apporti di questi
due studiosi avviene però una progressiva e definitiva separazione definitiva tra la cosiddetta “prospettiva degli artisti” e quella dei matematici. Per questi
due studiosi, la formalizzazione matematica risulterà
troppo complicata.
Nel momento in cui i matematici prendono coscienza della natura matematica della prospettiva, cominciano a interessarsene e a approfondire le ricerche
sganciandola completamente dall’ambito artistico
nel quale aveva visto la luce.
I matematici si occuperanno della pura teoria, arricchendo di dimostrazioni le regole “evidenti” per gli
artisti.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> continua a pag. 26
[LEON BATTISTA ALBERTI ]
Leon Battista Alberti (1404-1472) rappresenta una multiforme figura di matematico, architetto, pittore e scultore, filosofo, pedagogista e perfino commediografo.
Impossibile non menzionare le sue architetture a Firenze (la facciata di Santa Maria
Novella e il palazzo Rucellai) e a Mantova (la tribuna dell’Annunziata). Scrive su diversi argomenti: sulla famiglia, sul matrimonio, e ancora altre riflessioni sulla virtù
e la fortuna, sulla libertà, sulla ricchezza e sulla povertà. Tra le tanti produzioni ne
ricordiamo alcune che ci riguardano più da vicino. Ludi rerum mathematicarum un
libretto che tratta problemi matematici senza la presunzione di essere un trattato.
L’intento dell’autore era di far vedere ad un vasto pubblico quali risultati era possibile ottenere con la Matematica, come spiega lo stesso autore: “cose iocundissime”
nelle quali “voi prenderete diletto sì in considerare sì ancora in praticarle e adoperarle”. È interessante nel De re aedificatoria il suo uso del termine numerus, parola che
traduceva i due termini greci rythmos e arythmos, l’uno legato all’aspetto quantitativo l’altro a quello qualitativo. Ma è nel De pictura che Alberti presenta i metodi
per applicare la teoria della prospettiva alla pittura, descrivendo la cosiddetta piramide visiva. La prospettiva è divisa in scienza della visione (perspectiva naturalis)
e scienza della rappresentazione (perspectiva artificialis) in un opera che non è un
trattato di Matematica – come si affretta a chiarire lo stesso Leon Battista Alberti
– ma una teoria della rappresentazione fedele, destinata al pittore.
In questa pagina: Beato Angelico / Annunciazione / particolare.
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[LA PROSPETTIVA LINEARE... QUALCHE IMMAGINE CON CABRI!]
di Roberto Di Martino
Nell’immagine qui sotto osserviamo, schematizzato, il meccanismo fondamentale
della prospettiva lineare. Abbiamo una struttura architettonica formata da due
parallelepipedi poggianti su di un piano che si presuppone infinito. Di fronte alla
struttura sta un osservatore e tra loro si erge uno schermo trasparente, il “quadro”,
su cui si forma l’immagine di tutto ciò che sta al di là del quadro così come lo percepisce l’osservatore dalla sua posizione.
Definiremo immagine di un punto A, che si trovi oltre il quadro, il punto A’ di intersezione tra il quadro e una retta che, come un raggio di luce, unisce A con
l’occhio O dell’osservatore. Notiamo che l’immagine sul quadro non riguarda solo
la struttura che l’osservatore ha di fronte ma l’intero spazio vuoto letteralmente
fino all’infinito. Il piano su cui poggiano le figure, si estende all’infinito; tale limite è
rappresentato dalla linea tratteggiata, luogo dei punti all’infinito del piano denominato dai pittori orizzonte e dai matematici (qualche secolo più tardi) retta limite.
L’altezza da terra della linea d’orizzonte equivale a quella dell’osservatore.
Il meccanismo descritto è fondamentalmente quello illustrato da L.B. Alberti nel
suo De pictura, metodo elaborato e usato precedentemente da Filippo Brunelleschi, denominato costruzione legittima o metodo del taglio della piramide visiva.
La piramide visiva ha come vertice l’occhio dell’osservatore e come direttrice
ogni oggetto osservato, potenzialmente ogni punto dello spazio infinito che si
estende oltre il quadro; le generatrici sono le linee rette che uniscono l’occhio
dell’osservatore con ciascun punto della direttrice. Questo è un punto essenziale
del mutamento concettuale introdotto dall’invenzione della prospettiva lineare.
La rappresentazione, anche se finalizzata ad una
rappresentazione realistica di una situazione locale,
riguarda sempre tutto lo spazio oltre il quadro, fino
all’infinito. Lo spazio vuoto diventa il vero protagonista della rappresentazione; l’infinito potenziale di
Aristotele diventa in qualche modo attuale, riproponendo anche all’attenzione dei matematici un’insidiosa fonte di contraddizioni.
Questa tensione tra locale e globale si riscontra anche nei metodi pratici per costruire una prospettiva
lineare (che fondamentalmente non si discostano
mai dallo schema tracciato inizialmente)//1.
Osserviamo l’immagine successiva. Qui abbiamo
una situazione analoga a quella della figura precedente, ma con tre osservatori che guardano attraverso un unico quadro. Per tracciare questa immagine,
è sufficiente costruire localmente l’immagine di ogni
punto indipendentemente dal contesto in cui si trova. L’Alberti partiva da una pianta e da un alzato della
figura da rappresentare, comprendenti la posizione
dell’osservatore, e da questi ricavava l’immagine di
ogni punto sul quadro.
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Dall’osservazione di una prospettiva così ottenuta si
nota che i lati paralleli di una stessa figura tendono
- come è noto - a dirigersi verso un unico punto in
cui convergono.
Questa osservazione conduce ad elaborare un nuovo metodo di costruzione che, considerando questa
volta lo spazio nella sua estensione infinita, conduce
ad individuare la posizione di questi punti di convergenza che vengono definiti punti di fuga e si trovano,
in genere, sull’orizzonte.
Vediamo adesso un caso molto particolare di prospettiva prodotta scegliendo con cura i punti di vista.
L’osservatore è posto esattamente sulla verticale del
centro di un pavimento circolare a raggiera. Indipendentemente dalla scelta della posizione del quadro,
i raggi della pavimentazione si trasformano in un fascio di rette parallele e le circonferenze vengono – a
loro volta – trasformate in iperboli. Questo effetto visivo, benché non riscontrabile a occhio nudo, dovrebbe (anzi deve!) essere verificabile con una fotografia
scattata esattamente in queste condizioni.
Pavimento circolare a raggiera 1.
//1 Nei secoli successivi sono stati introdotte numerose varianti
alla costruzione prospettica classica ma le innovazioni sono sempre state finalizzate ad alleggerire, in situazioni particolari, l’oneroso bagaglio di costruzioni geometriche necessario a condurre una
prospettiva corretta, o ad ovviare a inconvenienti pratici dovuti ad
esempio a punti di fuga inaccessibili sul piano di lavoro.
Nella pagina a fianco: prospettiva lineare semplice e prospettiva
con tre osservatori.
Pavimento circolare a raggiera 2.
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[UNA SCIENZA... FIGLIA DELL’ARTE]
Dalla prospettiva nasce la Geometria proiettiva: insomma, una scienza figlia dell’arte!
È evidente che esiste una distinzione tra il mondo
accessibile al senso del tatto e il mondo che si vede.
Dovrebbero allora esistere due geometrie, corrispondenti una al tatto e una alla visione! La Geometria del tatto è quella euclidea, che non è certo della
visione (noi non vediamo mai linee parallele; anche
i binari del treno che sappiamo – per nostra fortuna
– non congiungersi mai, noi li vediamo congiunti in
lontananza).
Allora qual è la Geometria che risolve i problemi della visione? Il primo grande matematico che studia i
risultati dei lavori sulla prospettiva è Girard Desar-
In questa pagina: Tavola tratta da “Manière universelle de S. Desargues par pratiquer la perspective” (sopra); prospettiva di Francesco
Borromini (a lato).
Nella pagina a fianco: Palazzo Ducale / Flagellazione / Piero della
Francesca.
gues (1591-1661) con l’intento di aiutare gli ingegneri, i pittori e gli architetti nel
loro lavoro “Confesso liberamente – scrive – di non aver mai provato piacere in
studi o ricerche nel campo della Fisica o della Geometria, se non quando potevano servire come mezzi per arrivare a una qualche sorta di conoscenza delle cause
vicine [...] per il bene e comodità della vita, nel conservare la salute, nella pratica
di qualche arte [...], una buona parte delle arti è fondata sulla geometria, fra le
altre quelle del taglio delle pietre in architettura, quella delle meridiane solari, e
quella della prospettiva in particolare”. La sua opera Brouillon projet d’une atteinte aux evenemens des rencontres d’une cone avec un plan, con i fondamenti della
Geometria proiettiva fu ripubblicata nell’opera del suo discepolo A. Bosse Manière
universelle de S. Desargues par pratiquer la perspective. La nuova Geometria non
contiene più linee parallele: tutte le linee parallele nello spazio (così come accade
sulla tela) si incontrano in un punto che può essere infinitamente lontano ma del
quale si suppone l’esistenza: il punto all’infinito (corrisponde al punto nel quale si
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incontrano le linee parallele sulla tela). Particolari approfondimenti ed estensioni
dei concetti introdotti da Desargues si devono, successivamente a Pascal, Monge,
Poncelet, ecc. Con la Geometria proiettiva vengono descritte le coniche – fino ad
ora ottenute come sezioni di un cono con un piano – come trasformate proiettive
di una cerchio: è quello che notiamo in forma intuitiva e molto semplice quando
osserviamo le ombre di una lampada circolare su una parete; a seconda di come il
cono di luce viene “tagliato” dalla parete, si vedono disegnate su questa le ombre
a forma di ellissi, parabole, iperboli ottenute appunto come proiezioni della forma
circolare del bordo della lampada.
L’evoluzione di questi studi consentì, tra le altre cose, approfondimenti nella rappresentazione cartografica ma anche lo sviluppo di illusioni ottiche, di anamorfosi usate sia per comporre opere d’arte sia per correggere anomalie di edifici già
realizzati sia per offrire illusioni intense e spettacolari (si osservi, ad esempio, la
“falsa prospettiva” realizzata da Borromini all’interno di Palazzo Spada a Roma).
[PIERO... AD AREZZO]
A Piero Della Francesca è dedicata la mostra Piero della Francesca e le corti italiane che può essere
ammirato fino al 22 luglio ad Arezzo, Sansepolcro e
Monterchi.
Per informazioni: Museo statale d’arte medievale e
moderna, via S. Lorentino, Arezzo; tel. 05751840000;
http://www.mostrapierodellafrancesca.it;
[email protected].
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[OGGI... MODELLI CON IL COMPUTER]
È grazie alla prospettiva che noi siamo in grado oggi
di rappresentare gli ambienti e lo spazio in cui viviamo e soprattutto in grado di “leggere” le rispettive
rappresentazioni (pensiamo pure – per semplicità
– alla “pianta” della casa in cui viviamo!).
Siamo talmente abituati – pur vivendo in uno spazio
diverso – a rappresentare nel piano, che qualsiasi altra cosa ci crea difficoltà. Mentalmente, siamo come
piccoli abitanti di un mondo piatto con la piccola/
grandissima differenza che viviamo e vediamo uno
spazio diverso.
La rappresentazione della realtà costituisce un significativo esempio di costruzione di un modello matematico. Oggi, la sua realizzazione può essere grandemente aiutata – rispetto alle manuali tecniche
precedenti – dal ricorso a pacchetti precostituiti e a
software approntati all’uso come ad esempio il CAD
(Computer Aided Design). ////////////////////////////// : )
Sopra: Disegno di Gian Maria Cassina - Prospettiva fatta con programma CAD di un edificio su due
livelli con struttura in profili di metallo e chiusura con lastre di vetro, disegnato in scala reale (1:1).
[PIERO DELLA FRANCESCA ]
Piero della Francesca nasce nel 1412 circa a Borgo
San Sepolcro (oggi Sansepolcro) e muore – cieco – il
12 ottobre del 1492, il giorno in cui Cristoforo Colombo scoprì l’America.
Fu chiamato il monarca della pittura che dominava
colore e prospettiva. Nelle corti dell’Italia centro-settentrionale, Piero venne a contatto con artisti quali
Angelico, Luca della Robbia e Donatello ma anche
con umanisti e scienziati della portata di Leon Battista Alberti e Luca Pacioli. Piero fu un grande studioso
di Geometria, Ottica e Prospettiva.
Sono saperi scientifici che si ritrovano indiscussi e
inscindibili nelle sue opere, dove il risultato artistico
è sicuramente frutto della conoscenza delle regole
della Geometria, della scienza prospettica e delle
leggi di Ottica.
Ricordiamo soprattutto il De Prospectiva Pingendi del 1475, il primo trattato organico sulla prospettiva rinascimentale. In quest’opera, Piero volle codificare le
regole della prospettiva e della Matematica, a uso degli artisti, e teorizza le tre
parti della pittura: “disegno, commensuratio et colorare”.
La commensuratio era la misurazione geometrica, proporzionale e prospettica.
Un modo di identificare la pittura con la prospettiva, i cui piani sono il luogo di
incontro tra disegno e colore. Piero non parla di raggi visivi ma di linee, cioè della
sola costruzione geometrica, senza dire se i raggi partano dall’occhio o dalle cose
illuminate.
Ci piace, infine, ricordare due opere di contenuto matematico: la prima è il Libellus
de quinque corporibus regolaribus (pubblicato da Luca Pacioli nel suo De divina
proportione unitamente alle rappresentazioni del poliedri di Leonardo da Vinci e
recentemente recuperato all’interno del codice urbinate 263 della Biblioteca Vaticana) in cui affronta la rappresentazione dei poliedri regolari, i cosiddetti solidi
platonici; il secondo è Trattato De Abaco che conferma ancora una volta la sua
conoscenza e preparazione matematica.